变式训练 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ BD $ 是弦,过点 $ A $ 的切线交 $ BD $ 的延长线于点 $ C $.若 $ AB = AC = 4 $,则图中阴影部分图形的面积的和是 ______.

π

连接OD。
∵AC是⊙O的切线，AB是直径，∴AC⊥AB，∠BAC=90°。
∵AB=AC=4，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。
∵OB=OD（半径），∴∠ODB=∠ABC=45°，∴∠BOD=90°。
扇形BOD面积：$S_{扇形BOD}=\frac{90°}{360°}×π×2²=π$。
△BOD面积：$S_{△BOD}=\frac{1}{2}×2×2=2$，弓形BD面积：$S_{弓形BD}=π - 2$。
直线BC：y=-x+4，与⊙O：x²+(y-2)²=4交于D(2,2)。
△ODC面积：$S_{△ODC}=\frac{1}{2}×2×2=2$。
阴影部分面积和=弓形BD面积+△ODC面积=(π - 2)+2=π。

1. (2024 安徽中考)若扇形 $ AOB $ 的半径为 $ 6 $,$ \angle AOB = 120^{\circ} $,则 $ \overset{\frown}{AB} = $()
A.$ 2\pi $
B.$ 3\pi $
C.$ 4\pi $
D.$ 6\pi $

C

扇形的弧长公式为 $ l = \frac{n\pi r}{180} $，其中 $ n $ 为圆心角度数，$ r $ 为半径。
已知 $ R = 6 $，$ \angle AOB = 120° $，代入公式得：
$ l = \frac{120 × \pi × 6}{180} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi $。

2. (2022 武汉中考)一个扇形的弧长是 $ 10\pi $,其圆心角是 $ 150^{\circ} $,此扇形的面积为()
A.$ 30\pi $
B.$ 60\pi $
C.$ 120\pi $
D.$ 180\pi $

C（错）→ （正确应为B，按照格式要求直接给选项）
B

设扇形的半径为 $R$，圆心角为 $150°$，弧长为 $10\pi$。
根据弧长公式 $l = \frac{n\pi R}{180}$，代入已知条件：
$10\pi = \frac{150\pi R}{180}$，
解得：$R = 12$。
扇形面积公式为 $S = \frac{1}{2}lR$，代入 $l = 10\pi$ 和 $R = 12$：
$S = \frac{1}{2} × 10\pi × 12 = 60\pi$。

3. (2023 重庆中考)如图,$ \odot O $ 是矩形 $ ABCD $ 的外接圆,若 $ AB = 4 $,$ AD = 3 $,则图中阴影部分的面积为 . (结果保留 $ \pi $)

25π/4 - 12

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，
∴矩形ABCD的对角线AC=BD=√(AB²+AD²)=√(4²+3²)=5，
∵⊙O是矩形ABCD的外接圆，
∴AC是⊙O的直径，半径r=5/2，
∴⊙O的面积=πr²=π×(5/2)²=25π/4，
矩形ABCD的面积=AB×AD=4×3=12，
∵阴影部分的面积=⊙O的面积-矩形ABCD的面积，
∴阴影部分的面积=25π/4 - 12。

4. (2024 重庆中考)如图,在矩形 $ ABCD $ 中,分别以点 $ A $ 和 $ C $ 为圆心,$ AD $ 的长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若 $ AD = 4 $,则图中阴影部分的面积为()

A.$ 32 - 8\pi $
B.$ 16\sqrt{3} - 4\pi $
C.$ 32 - 4\pi $
D.$ 16\sqrt{3} - 8\pi $

D

1. 确定矩形的长：在矩形$ABCD$中，$AD = 4$，设$AB = x$。以$A$、$C$为圆心，$AD = 4$为半径画弧，两弧相切（仅有一个公共点），则圆心距$AC = 4 + 4 = 8$。
矩形对角线$AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{x^2 + 4^2}$，故$\sqrt{x^2 + 16} = 8$，解得$x = 4\sqrt{3}$。矩形面积为$AB \cdot AD = 4\sqrt{3} × 4 = 16\sqrt{3}$。
2. 计算扇形面积：以$A$为圆心的弧，半径$4$，圆心角$90°$（$\angle DAB = 90°$），扇形面积为$\frac{90}{360} \pi × 4^2 = 4\pi$；同理，以$C$为圆心的扇形面积也为$4\pi$，两扇形面积和为$8\pi$。
3. 阴影部分面积：阴影面积 = 矩形面积 - 两扇形面积 = $16\sqrt{3} - 8\pi$。

5. (2024 渝北模拟)如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 4 $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AD $ 于点 $ E $,以点 $ B $ 为圆心,$ BE $ 的长为半径画弧,交 $ BC $ 于点 $ F $.若点 $ E $ 为 $ AD $ 的中点,则图中阴影部分的面积为 . (结果保留 $ \pi $)

$24 - 4\pi$

1. 已知$AB = 4$，点$E$为$AD$的中点，则$AE=\frac{1}{2}AD$，同时$AD = BC$，在矩形$ABCD$中$\angle A=\angle ABC = 90^{\circ}$。
2. 因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC = 45^{\circ}$，在$\triangle ABE$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle ABE = 45^{\circ}$，则$\triangle ABE$是等腰直角三角形，所以$AE = AB = 4$，那么$AD = 2AE = 8$，$BC = 8$。
3. 根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$。
4. 以$B$为圆心，$BE$的长为半径画弧，$S_{扇形BEF}=\frac{45\pi×(4\sqrt{2})^{2}}{360}=4\pi$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×4×4 = 8$，$S_{矩形ABCD}=4×8 = 32$。
5. $S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ABE}-S_{扇形BEF}=32 - 8-4\pi=24 - 4\pi$。

6. (2024 重庆二模)如图,$ C $,$ D $ 是以 $ AB $ 为直径的半圆周的三等分点,$ CD = 8 $,$ P $ 是直径上的任意一点,则图中阴影部分的面积为 ______. (结果保留 $ \pi $)

$\frac{32}{3}\pi$

连接OC、OD，∵C、D是半圆周三等分点，∴∠COD=60°，△OCD为等边三角形，CD=OC=OD=8（半径R=8）。阴影部分面积=扇形OCD面积，扇形面积公式为$\frac{n\pi R^2}{360}$，代入n=60，R=8，得$\frac{60\pi×8^2}{360}=\frac{32\pi}{3}$。

7. (2024 重庆三模)如图,平行四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $,$ BD $ 交于点 $ O $,且 $ AC \perp AB $,以点 $ O $ 为圆心,$ OA $,$ OC $ 的长为半径画弧分别交对角线 $ BD $ 于点 $ E $,$ F $.若 $ AC = 4 $,$ \angle ABO = 30^{\circ} $,则图中阴影部分的面积为 . (结果保留 $ \pi $)

$\frac{4}{3}\pi$

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC=4$，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=2$，$OB=OD$。
∵$AC \perp AB$，$\angle ABO=30°$，
∴$OA=\frac{1}{2}OB$，即$OB=2OA=4$，
$\angle AOB=90° - 30°=60°$，
∴$\angle COD=\angle AOB=60°$。
阴影部分面积$=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD}-S_{扇形AOE}-S_{扇形COF}$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=\frac{1}{2} × OA × AB$，
在$Rt\triangle AOB$中，$AB=OA \cdot \tan60°=2\sqrt{3}$，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$S_{扇形AOE}=S_{扇形COF}=\frac{60°}{360°} × \pi × OA^2=\frac{1}{6} \pi × 2^2=\frac{2}{3}\pi$。
∴阴影部分面积$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi-\frac{2}{3}\pi=4\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi$。
$4\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi$