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1. 如图,点 $D$ 在线段 $BC$上。若 $BC = DE$,$AC = DC$,$AB = EC$,$\angle A = 95^{\circ}$,$\angle ACB = 55^{\circ}$,则$\angle ACE = ($
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
答案
B
2. 如图,在$\triangle ABC和\triangle BDE$中,点 $C$ 在边 $BD$上,边 $AC$ 交边 $BE$ 于点 $F$,若 $AC = BD$,$AB = ED$,$BC = BE$,则$\angle ACB$等于(
A.$\angle EDB$
B.$\angle BED$
C.$\frac{1}{2}\angle AFB$
D.$2\angle ABF$
C
)A.$\angle EDB$
B.$\angle BED$
C.$\frac{1}{2}\angle AFB$
D.$2\angle ABF$
答案
C
解析
在△ABC和△DEB中，∵AC=BD，AB=ED，BC=BE，∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB=∠DBE（全等三角形对应角相等）。∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB=∠FBC+∠FCB，又∠FBC=∠DBE=∠ACB，∠FCB=∠ACB，∴∠AFB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB，∴∠ACB=½∠AFB。
3. 如图,已知 $AD = BC$,$AC = BD$。求证$OD = OC$。
答案
在$\triangle ADC$和$\triangle BCD$中
$\begin{cases}AD = BC, \\AC = BD, \\CD=DC\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）全等判定定理，如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BCD$
$\therefore\angle DCA = \angle BDC$
$\therefore OC = OD$（等角对等边）
$\begin{cases}AD = BC, \\AC = BD, \\CD=DC\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）全等判定定理，如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BCD$
$\therefore\angle DCA = \angle BDC$
$\therefore OC = OD$（等角对等边）
4. 已知 $AB = AC$,$AD = AE$,$BD = CE$,且 $B$,$D$,$E$ 三点在同一条直线上。
(1)如图 1,点 $B$ 在线段 $DE$ 上,求证$\angle DAE = \angle BAC$；
(2)如图 2,点 $B$ 在线段 $ED$ 的延长线上,请写出$\angle ADE$ 与$\angle AEC$ 之间的数量关系并说明理由；
(3)如图 3,若点 $B$ 在线段 $DE$ 的延长线上,请写出$\angle ADE$ 与$\angle AEC$ 之间的数量关系并说明理由。
(1)如图 1,点 $B$ 在线段 $DE$ 上,求证$\angle DAE = \angle BAC$；
(2)如图 2,点 $B$ 在线段 $ED$ 的延长线上,请写出$\angle ADE$ 与$\angle AEC$ 之间的数量关系并说明理由；
(3)如图 3,若点 $B$ 在线段 $DE$ 的延长线上,请写出$\angle ADE$ 与$\angle AEC$ 之间的数量关系并说明理由。
答案
(1)证明：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ AD=AE(已知)\\ BD=CE(已知)\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD≌\triangle ACE(SSS)$．
$\therefore \angle BAD=\angle CAE(全等三角形对应角相等)$．
$\because \angle DAE=\angle BAE+\angle BAD$，$\angle BAC=\angle BAE+\angle CAE$，
$\therefore \angle DAE=\angle BAC$．
(2)$\angle ADE+\angle AEC=180^{\circ }$．
理由：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ AD=AE(已知)\\ BD=CE(已知)\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD≌\triangle ACE(SSS)$．
$\therefore \angle ADB=\angle AEC(全等三角形对应角相等)$．
$\because$ 点B在ED延长线上，$\therefore \angle ADB+\angle ADE=180^{\circ }(平角定义)$．
$\therefore \angle ADE+\angle AEC=180^{\circ }$．
(3)$\angle ADE=\angle AEC$．
理由：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ AD=AE(已知)\\ BD=CE(已知)\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD≌\triangle ACE(SSS)$．
$\therefore \angle ADB=\angle AEC(全等三角形对应角相等)$．
$\because$ 点B在DE延长线上，$\therefore \angle ADB=\angle ADE(对顶角或公共角定义)$．
$\therefore \angle ADE=\angle AEC$．
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ AD=AE(已知)\\ BD=CE(已知)\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD≌\triangle ACE(SSS)$．
$\therefore \angle BAD=\angle CAE(全等三角形对应角相等)$．
$\because \angle DAE=\angle BAE+\angle BAD$，$\angle BAC=\angle BAE+\angle CAE$，
$\therefore \angle DAE=\angle BAC$．
(2)$\angle ADE+\angle AEC=180^{\circ }$．
理由：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ AD=AE(已知)\\ BD=CE(已知)\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD≌\triangle ACE(SSS)$．
$\therefore \angle ADB=\angle AEC(全等三角形对应角相等)$．
$\because$ 点B在ED延长线上，$\therefore \angle ADB+\angle ADE=180^{\circ }(平角定义)$．
$\therefore \angle ADE+\angle AEC=180^{\circ }$．
(3)$\angle ADE=\angle AEC$．
理由：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ AD=AE(已知)\\ BD=CE(已知)\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD≌\triangle ACE(SSS)$．
$\therefore \angle ADB=\angle AEC(全等三角形对应角相等)$．
$\because$ 点B在DE延长线上，$\therefore \angle ADB=\angle ADE(对顶角或公共角定义)$．
$\therefore \angle ADE=\angle AEC$．
