2. 一副三角尺摆放方式如图所示,则∠BAC的度数为()

A.75°
B.60°
C.105°
D.120°

C

一副三角尺的内角分别为 30°、60°、90°和 45°、45°、90°。由图可知，∠ABC=30°，∠ACB=45°。在△ABC 中，∠BAC=180° - ∠ABC - ∠ACB=180° - 30° - 45°=105°。

3. 在△ABC中,∠B= 2∠A,∠C= ∠A+20°,求△ABC各个内角的度数。

设$\angle A = x$，则根据题意有：
$\angle B = 2x$，
$\angle C = x + 20^{\circ}$，
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为$180 ^{\circ}$，即：
$\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^{\circ}$，
代入之前设定的角度表达式，得：
$x + 2x + x + 20 ^{\circ} = 180 ^{\circ}$，
合并同类项，得：
$4x + 20 ^{\circ} = 180 ^{\circ}$，
移项并化简，得：
$4x = 160 ^{\circ}$，
解得：
$x = 40 ^{\circ}$，
将$x = 40 ^{\circ}$代入之前设定的角度表达式中，得：
$\angle A = 40 ^{\circ}$，
$\angle B = 2 × 40 ^{\circ} = 80 ^{\circ}$，
$\angle C = 40 ^{\circ} + 20 ^{\circ} = 60 ^{\circ}$。
所以，$\bigtriangleup ABC$的各个内角分别为：
$\angle A = 40 ^{\circ}$，
$\angle B = 80 ^{\circ}$，
$\angle C = 60 ^{\circ}$。

4. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为()

A.180°
B.210°
C.270°
D.360°

A

连接BC，设BD与CE交于点O。在△ODE中，∠D+∠E+∠DOE=180°，则∠DOE=180°-∠D-∠E。∵∠DOE=∠BOC（对顶角相等），∴∠BOC=180°-∠D-∠E。在△BOC中，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，即∠OBC+∠OCB+180°-∠D-∠E=180°，∴∠OBC+∠OCB=∠D+∠E。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，而∠ABC=∠ABO+∠OBC，∠ACB=∠ACO+∠OCB，∴∠A+∠ABO+∠OBC+∠ACO+∠OCB=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

5. 如图,在△ABC中,BE,CF是角平分线,BE,CF相交于点D,连接AD,∠ABC= 50°,∠ACB= 70°,则∠ADE为。

55°

在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-50°-70°=60°。
BE是∠ABC的平分线，故∠ABE=∠ABC/2=50°/2=25°。
在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE=180°-60°-25°=95°。
BE、CF是角平分线，交点D为△ABC的内心，AD平分∠BAC，所以∠DAE=∠BAC/2=60°/2=30°。
在△ADE中，∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=180°-30°-95°=55°。

6. (1)如图1,AB和CD交于点O,求证：∠A+∠C= ∠B+∠D；
(2)如图2,AE,CE分别平分∠BAD,∠BCD,运用(1)的结论求证：∠B+∠D= 2∠E。

(1)证明：在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°；在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°。
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD。
∴∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D。
(2)证明：设AE平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠BAE=∠EAD=∠BAD/2，∠BCE=∠ECD=∠BCD/2。
设AE与CD交于点F，CE与AB交于点G。
在交点F处，由(1)得∠D+∠EAD=∠E+∠ECD，即∠D+∠BAD/2=∠E+∠BCD/2 ①；
在交点G处，由(1)得∠B+∠BCE=∠E+∠BAE，即∠B+∠BCD/2=∠E+∠BAD/2 ②。
①+②得：∠B+∠D+(∠BAD+∠BCD)/2=2∠E+(∠BAD+∠BCD)/2，
∴∠B+∠D=2∠E。