1. 下列式子是分式方程的是()
A.$\dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{x}{3}$
B.$\dfrac{x}{4} + \dfrac{x - 1}{2} = 0$
C.$x^{2} - 1 = 3$
D.$\dfrac{1}{x - 2} + x = 3$

D

分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
A 选项 $\dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{x}{3}$ 不是方程，因为没有等号；
B 选项 $\dfrac{x}{4} + \dfrac{x - 1}{2} = 0$ 的分母中不含有未知数，是整式方程；
C 选项 $x^{2} - 1 = 3$ 也是整式方程；
D 选项 $\dfrac{1}{x - 2} + x = 3$ 分母中含有未知数 $x$，是分式方程。

2. 分式方程$\dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{2x}{1 - x} = 1$的解为()
A.$x = 1$
B.$x = 3$
C.$x = \dfrac{1}{2}$
D.无解

C

方程两边同乘$x - 1$得：$x - 2x = x - 1$，解得$x = \dfrac{1}{2}$。检验：当$x = \dfrac{1}{2}$时，$x - 1 = -\dfrac{1}{2} \neq 0$，所以$x = \dfrac{1}{2}$是原方程的解。

3. (2024·山东济南中考)若分式$\dfrac{x - 1}{2x}$的值为0,则实数x的值为 。

1

要使分式$\dfrac{x - 1}{2x}$的值为0，需分子为0且分母不为0。分子$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；分母$2x \neq 0$，即$x \neq 0$。综上，$x = 1$。

4. (2024·湖北武汉中考)分式方程$\dfrac{x}{x - 3} = \dfrac{x + 1}{x - 1}$的解是。

$x = -3$（由于本题是填空题，直接给出解即可）。

首先，给定分式方程为：$\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$，
为了消去分母，将方程两边同时乘以最简公分母$(x - 3)(x - 1)$，得到：
$x(x - 1) = (x + 1)(x - 3)$，
展开并整理上式，得到：
$x^2 - x = x^2 - 3x + x - 3$，
进一步整理，得到：
$x^2 - x = x^2 - 2x - 3$，
从上式中，将$x^2$消去并移项得：
$x = -3$，
检验：将$x = -3$代入最简公分母$(x - 3)(x - 1)$，得到：
$(-3 - 3)(-3 - 1) = 6 × 4 = 24 \neq 0$，
因为最简公分母不为0，所以$x = -3$是原方程的解。

5. 解方程：
(1)$\dfrac{2}{x^{2} - 1} + \dfrac{x}{x - 1} = 1$；
(2)$\dfrac{x}{3x - 1} = 2 - \dfrac{1}{1 - 3x}$；
(3)$\dfrac{3}{4 - x} + 2 = \dfrac{1 - x}{x - 4}$。

(1)方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2 + x(x + 1)=(x + 1)(x - 1)$
展开得$2 + x^2 + x=x^2 - 1$
移项合并得$x=-3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$
∴原方程的解为$x=-3$
(2)原方程可化为$\dfrac{x}{3x - 1}=2+\dfrac{1}{3x - 1}$
方程两边同乘$3x - 1$，得$x=2(3x - 1)+1$
展开得$x=6x - 2 + 1$
移项合并得$-5x=-1$，$x=\dfrac{1}{5}$
检验：当$x=\dfrac{1}{5}$时，$3x - 1=-\dfrac{2}{5}≠0$
∴原方程的解为$x=\dfrac{1}{5}$
(3)原方程可化为$\dfrac{-3}{x - 4}+2=\dfrac{1 - x}{x - 4}$
方程两边同乘$x - 4$，得$-3 + 2(x - 4)=1 - x$
展开得$-3 + 2x - 8=1 - x$
移项合并得$3x=12$，$x=4$
检验：当$x=4$时，$x - 4=0$，是增根
∴原方程无解

6. (2024·四川达州中考)若关于x的方程$\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{kx - 1}{x - 2} = 1$无解,则k的值为。

-1或2

方程两边同乘$x - 2$得：$3 - (kx - 1) = x - 2$，化简得$4 - kx = x - 2$，移项合并同类项得$(k + 1)x = 6$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解：当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，$0x = 6$无解；
2. 整式方程的解为增根：增根为$x = 2$，代入$(k + 1)x = 6$得$2(k + 1) = 6$，解得$k = 2$。
综上，$k = -1$或$2$。

7. (2024·黑龙江牡丹江中考)若关于x的分式方程$\dfrac{x}{x - 1} = 3 - \dfrac{mx}{1 - x}$的解为正整数,则整数m的值为。

-1

方程两边同乘$x - 1$得：$x = 3(x - 1) + mx$，化简得$x(2 + m) = 3$，解得$x = \frac{3}{2 + m}$。
∵解为正整数，∴$2 + m$为$3$的正因数（$1$或$3$），且$x ≠ 1$。
当$2 + m = 1$时，$m = -1$，$x = 3$（正整数，符合）；
当$2 + m = 3$时，$m = 1$，$x = 1$（增根，舍去）。
综上，整数$m$的值为$-1$。

8. 阅读材料：关于x的分式方程$x + \dfrac{1}{x} = c + \dfrac{1}{c}的解是x_{1} = c$,$x_{2} = \dfrac{1}{c}$；$x - \dfrac{1}{x} = c - \dfrac{1}{c}$(即$x + \dfrac{- 1}{x} = c + \dfrac{- 1}{c}$)的解是$x_{1} = c$,$x_{2} = - \dfrac{1}{c}$；$x + \dfrac{2}{x} = c + \dfrac{2}{c}的解是x_{1} = c$,$x_{2} = \dfrac{2}{c}$；$x + \dfrac{3}{x} = c + \dfrac{3}{c}的解是x_{1} = c$,$x_{2} = \dfrac{3}{c}$；……
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于x的方程$x + \dfrac{m}{x} = c + \dfrac{m}{c}(m \neq 0)$的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
(2)根据以上的规律方法解关于x的方程：$x + \dfrac{2}{x - 1} = a + \dfrac{2}{a - 1}$。

(1)猜想：方程$x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}(m \neq 0)$的解是$x_1 = c$，$x_2 = \frac{m}{c}$。
验证：当$x = c$时，左边$= c + \frac{m}{c}$，右边$= c + \frac{m}{c}$，左边=右边，故$x = c$是原方程的解；当$x = \frac{m}{c}$时，左边$= \frac{m}{c} + \frac{m}{\frac{m}{c}} = \frac{m}{c} + c = c + \frac{m}{c}$，右边$= c + \frac{m}{c}$，左边=右边，故$x = \frac{m}{c}$是原方程的解。
(2)原方程$x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$可变形为$(x - 1) + 1 + \frac{2}{x - 1} = (a - 1) + 1 + \frac{2}{a - 1}$，即$(x - 1) + \frac{2}{x - 1} = (a - 1) + \frac{2}{a - 1}$。设$y = x - 1$，则方程变为$y + \frac{2}{y} = (a - 1) + \frac{2}{a - 1}$。由(1)知，此方程的解为$y_1 = a - 1$，$y_2 = \frac{2}{a - 1}$。
当$y = a - 1$时，$x - 1 = a - 1$，解得$x = a$；
当$y = \frac{2}{a - 1}$时，$x - 1 = \frac{2}{a - 1}$，解得$x = \frac{2}{a - 1} + 1 = \frac{a + 1}{a - 1}$。
经检验，$x = a$和$x = \frac{a + 1}{a - 1}$均为原方程的解。
综上，原方程的解为$x_1 = a$，$x_2 = \frac{a + 1}{a - 1}$。