16. 如图,矩形 OABC 的面积为 84,双曲线$ y= \frac{k}{x}(x＞0) $经过对角线 OB 的中点 D,则 k 的值为.

$21$

设$B$点坐标为$(m,n)$，因为$D$是$OB$的中点，根据中点坐标公式，可得$D$点坐标为$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$。
又因为矩形$OABC$的面积为$84$，根据矩形面积公式$S = OA× OC$（$OA=m$，$OC = n$），则$mn = 84$。
把$D(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$代入双曲线$y=\frac{k}{x}(x\gt0)$，可得$\frac{n}{2}=\frac{k}{\frac{m}{2}}$，即$k=\frac{mn}{4}$。
把$mn = 84$代入$k=\frac{mn}{4}$，可得$k = 21$。

17. 如图,P 是$\triangle ABC$内部的一点,且$\angle APC= \angle BPC$,$\angle APC+\angle ACB= 180^{\circ}$.若$PA= 3$,$PB= 6$,则 PC 的长为______.

3√2

设∠APC=∠BPC=θ，由∠APC+∠ACB=180°得∠ACB=180°-θ。在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-θ；在△BPC中，∠PBC+∠PCB=180°-θ。设∠PCA=α，则∠PCB=∠ACB-∠PCA=180°-θ-α，故∠PBC=180°-θ-(180°-θ-α)=α，即∠PBC=∠PCA。在△APC和△CPB中，∠APC=∠CPB=θ，∠PCA=∠PBC，∴△APC∽△CPB。由相似三角形对应边成比例得PA/PC=PC/PB，即3/PC=PC/6，解得PC²=18，PC=3√2。

18. 在平面直角坐标系中,已知$A(m,n)为抛物线 y= ax^{2}-(a+1)x-3(a＞0) $上一点.当$0＜m\leq4$时,点 A 关于 x 轴的对称点始终在直线$ y= -x+3 $上方,则 a 的取值范围是.

0＜a＜2/3

点A(m,n)关于x轴的对称点为(m,-n)，因其在直线y=-x+3上方，故-n ＞ -m+3，即n ＜ m-3。
∵点A在抛物线上，∴n=am²-(a+1)m-3，代入不等式得：
am²-(a+1)m-3 ＜ m-3，化简得am²-(a+2)m ＜ 0。
∵0＜m≤4，m＞0，不等式两边同除m得am-(a+2) ＜ 0，即a(m-1) ＜ 2。
当0＜m＜1时，m-1＜0，a(m-1)＜2恒成立（a＞0，左边为负）；
当m=1时，0＜2恒成立；
当1＜m≤4时，m-1＞0，需a ＜ 2/(m-1)恒成立。此时2/(m-1)在(1,4]上最小值为2/3（m=4时），故a ＜ 2/3。
综上，a的取值范围是0 ＜ a ＜ 2/3。

19. (本小题 12 分)
(1) 计算:$ \sin^{2}45^{\circ}+2\cos30^{\circ}-\tan60^{\circ} $.
(2) 如图,$AB// CD$,AD,BC 相交于点 E.若$AE= 2$,$DE= 4$,$BE= 2.5$,求 CE 的长.

(1)
$\begin{aligned}&\sin^{2}45^{\circ}+2\cos30^{\circ}-\tan60^{\circ}\\=&(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\\=&\frac{1}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\\=&\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2)
因为$AB// CD$，所以$\triangle AEB\sim\triangle DEC$。
则$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$，已知$AE = 2$，$DE = 4$，$BE = 2.5$，代入可得：
$\frac{2}{4}=\frac{2.5}{CE}$，
$2CE=4×2.5$，
$2CE = 10$，
$CE = 5$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{1}{2}$；(2)$5$。