18. 已知双曲线$y= -\frac{2025}{x}$与直线y= kx+b交于点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),若$x_1+x_2＞0$,$y_1+y_2＞0$,则k0,b0.(填“＞”“＜”或“=”)

＜，＞

将双曲线$y= -\frac{2025}{x}$与直线$y=kx + b$联立，
即$-\frac{2025}{x}=kx + b$，
变形为$kx^{2}+bx + 2025 = 0$（$x\neq0$），
已知双曲线$y = -\frac{2025}{x}$与直线$y=kx + b$交于点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，
则$x_1$，$x_2$是方程$kx^{2}+bx + 2025 = 0$的两个根，
根据韦达定理可得$x_1 + x_2=-\frac{b}{k}$，
$y_1=-\frac{2025}{x_1}$，$y_2=-\frac{2025}{x_2}$，
则$y_1 + y_2=-\ 2025×(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=-\ 2025×\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$。
因为$x_1 + x_2\gt0$，
由$x_1 + x_2=-\frac{b}{k}\gt0$，
$y_1 + y_2\gt0$，
$y_1 + y_2 = k(x_1 + x_2)+2b\gt0$（将$y_1=kx_1 + b$，$y_2=kx_2 + b$相加得到），
把$x_1 + x_2=-\frac{b}{k}$代入$k(x_1 + x_2)+2b\gt0$中，
可得$k×(-\frac{b}{k})+2b\gt0$，
即$b\gt0$。
又因为$x_1 + x_2=-\frac{b}{k}\gt0$，$b\gt0$，
所以$k\lt0$。

19. (本小题8分)如图,大、小两个正方形的中心均与原点O重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象与大正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求图中阴影部分的面积.

(1) 因为点A(1,2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=1$，$y=2$代入得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，故反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
(2) 大正方形中心在原点，边与坐标轴平行，点A(1,2)在其一边上，该边所在直线为$y=2$（或$x=1$，由对称性知$y=2$为上边），则大正方形上下边为$y=\pm2$，左右边为$x=\pm2$，边长为$2 - (-2)=4$，面积为$4×4=16$。
小正方形中心在原点，边与坐标轴平行，顶点B在第一象限，坐标为$(n,n)$（$n＞0$），因B在$y=\frac{2}{x}$上，故$n=\frac{2}{n}$，解得$n=\sqrt{2}$（舍负），小正方形边长为$2\sqrt{2}$，面积为$(2\sqrt{2})^2=8$。
阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即$16 - 8=8$。
(1)$y=\frac{2}{x}$；(2)8

20. (本小题8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,点C,B的坐标分别为C(2,0),B(0,4),反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)将直线OA向上平移m个单位长度后经过反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$图象上的点(1,n),求m,n的值.

(1)$ y=\frac{12}{x} $；(2)$ m=\frac{35}{3} $，$ n=12 $。

(1)设点$ A $的坐标为$ (x,y) $。
∵点$ C(2,0) $，$ B(0,4) $，$ \angle ACB=90° $，
∴向量$ \overrightarrow{CA}=(x-2,y) $，$ \overrightarrow{CB}=(-2,4) $。
∵$ \overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB} $，∴$ (x-2)(-2)+y \cdot 4=0 $，即$ -2x+4+4y=0 $，化简得$ x=2y+2 $。
∵$ AC=BC $，$ BC=\sqrt{(0-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} $，
∴$ AC=\sqrt{(x-2)^2+y^2}=2\sqrt{5} $，即$ (x-2)^2+y^2=20 $。
将$ x=2y+2 $代入，得$ (2y)^2+y^2=20 $，$ 5y^2=20 $，$ y^2=4 $，$ y=2 $（$ y=-2 $时$ x=-2 $舍去）。
则$ x=2×2+2=6 $，∴$ A(6,2) $。
∵反比例函数$ y=\frac{k}{x} $过点$ A $，∴$ k=6×2=12 $，解析式为$ y=\frac{12}{x} $。
(2)∵点$ (1,n) $在$ y=\frac{12}{x} $上，∴$ n=\frac{12}{1}=12 $。
直线$ OA $：过$ O(0,0) $，$ A(6,2) $，斜率$ k_{OA}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $，方程为$ y=\frac{1}{3}x $。
向上平移$ m $个单位后方程为$ y=\frac{1}{3}x+m $。
∵该直线过$ (1,12) $，∴$ 12=\frac{1}{3}×1+m $，解得$ m=12-\frac{1}{3}=\frac{35}{3} $。
综上，$ m=\frac{35}{3} $，$ n=12 $。