1. 如图,有一块长 30 cm、宽 20 cm 的矩形硬纸板.在四个角各剪去一个同样的正方形(阴影部分),然后将四周突出部分折起,制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为$ 200 cm^2？$

设剪去正方形的边长为$x\ cm$，则长方体盒子的长为$(30 - 2x)\ cm$，宽为$(20 - 2x)\ cm$，高为$x\ cm$。
长方体侧面积公式为$2×(长×高+宽×高)$，代入得：
$2\left[(30 - 2x)x + (20 - 2x)x\right] = 200$
化简得：
$2x\left[(30 - 2x) + (20 - 2x)\right] = 200 \implies 2x(50 - 4x) = 200 \implies 100x - 8x^2 = 200$
整理为一元二次方程：
$8x^2 - 100x + 200 = 0 \implies 2x^2 - 25x + 50 = 0$
解方程$2x^2 - 25x + 50 = 0$，判别式$\Delta = (-25)^2 - 4×2×50 = 225$，根为：
$x = \frac{25 \pm 15}{4} \implies x_1 = 10,\ x_2 = 2.5$
检验：当$x = 10$时，宽$20 - 2x = 0$（不合题意，舍去）；当$x = 2.5$时，长$30 - 2x = 25$，宽$20 - 2x = 15$（均为正数，符合题意）。
答：剪去正方形的边长为$2.5\ cm$。