8. 化简$(-\frac{1}{x})÷\frac{1}{x^2 + x}$的结果是（）
A.$-x - 1$
B.$-x + 1$
C.$-\frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{1}{x + 1}$

A

$\begin{aligned}\left(-\frac{1}{x}\right) ÷ \frac{1}{x^2 + x} &= \left(-\frac{1}{x}\right) × (x^2 + x) \\&= \left(-\frac{1}{x}\right) × x(x + 1) \\&= - (x + 1) \\&= -x - 1\end{aligned}$
A

9. 若分式$\frac{x}{x - 3}$除某分式所得的商为$\frac{x + 3}{x^2}$，则这个分式是（）
A.$\frac{x^2 + 3x}{x - 3}$
B.$\frac{x + 3}{x^2 - 3x}$
C.$\frac{x^2 - 3x}{x + 3}$
D.$\frac{x - 3}{x^2 + 3x}$

B

设这个分式为$A$，根据题意得$A÷\frac{x}{x - 3}=\frac{x + 3}{x^2}$，则$A=\frac{x + 3}{x^2}×\frac{x}{x - 3}=\frac{x + 3}{x(x - 3)}=\frac{x + 3}{x^2 - 3x}$。
B

10. 老师设计了一种接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简. 过程如图所示：
老师：$\frac{x^2 - 2x}{x - 1}÷\frac{x^2}{1 - x}$
甲：$\frac{x^2 - 2x}{x - 1}×\frac{1 - x}{x^2}$
乙：$\frac{x^2 - 2x}{x - 1}×\frac{x - 1}{x^2}$
丙：$\frac{x(x - 2)}{x - 1}\cdot\frac{x - 1}{x^2}$
丁：$\frac{x - 2}{2}$
接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁

D

老师给出的式子为$\frac{x^2 - 2x}{x - 1}÷\frac{x^2}{1 - x}$。
甲的步骤：将除法转化为乘法，即$\frac{x^2 - 2x}{x - 1}×\frac{1 - x}{x^2}$，此步正确。
乙的步骤：将$\frac{1 - x}{x^2}$变为$\frac{x - 1}{x^2}$，因为$1 - x = -(x - 1)$，所以乙这一步错误，应为$\frac{-(x - 1)}{x^2}$。
丙的步骤：对分子$x^2 - 2x$分解因式为$x(x - 2)$，得到$\frac{x(x - 2)}{x - 1}·\frac{x - 1}{x^2}$，此步正确（基于乙错误后的式子继续计算）。
丁的步骤：由丙的式子$\frac{x(x - 2)}{x - 1}·\frac{x - 1}{x^2}$化简，分子分母约去$x(x - 1)$，结果应为$\frac{x - 2}{x}$，而丁得到$\frac{x - 2}{2}$，所以丁错误。
综上，乙和丁错误，答案选D。

11. 计算$\frac{-b}{2a}\cdot(-\frac{4a}{3b})\cdot(-\frac{2a}{3b})$的结果是（）
A.$-\frac{b}{a}$
B.$\frac{b}{a}$
C.$-\frac{b}{4a}$
D.$-\frac{4a}{9b}$

D

$\begin{aligned}&\frac{-b}{2a}\cdot\left(-\frac{4a}{3b}\right)\cdot\left(-\frac{2a}{3b}\right)\\=&\frac{(-b)\cdot(-4a)\cdot(-2a)}{2a\cdot3b\cdot3b}\\=&\frac{-8a^{2}b}{18ab^{2}}\\=&-\frac{4a}{9b}\end{aligned}$
D

12. 化简：$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x^2 - x}{x + 1}$.

解:原式=$\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}×\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{1}{x}$.

13. 先化简$\frac{x - 2}{x^2 - 1}\cdot\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - x - 2}$，然后选择一个你喜欢的$x$值，代入求值.

解:$\frac{x-2}{x^{2}-1}\cdot\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-x-2}=\frac{x-2}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x+1)^{2}}{(x+1)(x-2)}=\frac{1}{x-1}$.答案不唯一,但所取的$x$的值不能为$\pm1,2$,如当$x=3$时,原式=$\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$.

14. 老师在黑板上书写了一个式子的正确计算过程，随后用手遮住了原式子的一部分，如图：
$(手遮住-\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1})÷\frac{x}{x + 1}=\frac{x + 1}{x - 1}$.
(1) 求被手遮住部分的式子，并将其化简.
(2) 原式的值能等于$-1$吗？请说明理由.

(1)设被手遮住部分的式子为$A$.则$\left[A-\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}}\right]×\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{x-1}$,$\left(A-\frac{x+1}{x-1}\right)×\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{x-1}$,$A-\frac{x+1}{x-1}=\frac{x}{x-1}$,则$A=\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{2x+1}{x-1}$.
(2)不能.理由如下:若原式子的值能等于$-1$,则$\frac{x+1}{x-1}=-1$,即$x=0$,但是,当$x=0$时,原式中的除数$\frac{x}{x+1}=0$,原式无意义,所以原式的值不能等于$-1$.

15. (1) 计算：$(a + 2)(a^2 - 2a + 4)=$，$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)=$.
(2) 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含$a$，$b$的字母表示：.
(3) 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（）.
A. $(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$
B. $(2m + n)(2m^2 + 2mn + n^2)$
C. $(4 - x)(16 + 4x - x^2)$
D. $(m - n)(m^2 + 2mn + n^2)$
(4) 利用所学知识以及(2)所得等式，化简式子$\frac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2}÷\frac{m^2 - n^2}{m^2 - 2mn + n^2}$.

(1)$a^{3}+8$；$8x^{3}+y^{3}$
(2)$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
(3)A
(4)$\frac{m^{3}+n^{3}}{m^{2}-mn+n^{2}}÷\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}-2mn+n^{2}}=\frac{(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})}{m^{2}-mn+n^{2}}×\frac{(m-n)^{2}}{(m+n)(m-n)}=m-n$.