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1. 扇形的圆心角是$60^{\circ}$,则扇形的面积是所在圆面积的(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{12}$
B
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
B
解析
扇形面积公式为$\frac{n}{360} × \pi r^2$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），所在圆面积为$\pi r^2$。圆心角$60^{\circ}$的扇形面积是所在圆面积的$\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$。
2. 如图,半圆$O的直径为6$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,则阴影部分的面积是(
A.$12\pi - 9\sqrt{3}$
B.$3\pi - \frac{9}{4}\sqrt{3}$
C.$3\pi - \frac{9}{2}\sqrt{3}$
D.$3\pi - \frac{3}{4}\sqrt{3}$
]
B
)A.$12\pi - 9\sqrt{3}$
B.$3\pi - \frac{9}{4}\sqrt{3}$
C.$3\pi - \frac{9}{2}\sqrt{3}$
D.$3\pi - \frac{3}{4}\sqrt{3}$
]
答案
B
解析
∵半圆O直径为6，∴半径OA=OC=3，∠AOC为圆心角。
∠BAC=30°（圆周角），其所对弧BC度数=2×30°=60°，
∴弧AC度数=180°-60°=120°，即∠AOC=120°。
扇形OAC面积：$\frac{120}{360}π×3²=3π$。
△OAC面积：$\frac{1}{2}×OA×OC×sin120°=\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
阴影部分面积=扇形OAC面积-△OAC面积=$3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
3. 已知扇形的半径为$3\mathrm{cm}$,圆心角为$150^{\circ}$,则扇形的面积为
$\frac{15\pi}{4}$
$\mathrm{cm}^{2}$.答案
$\frac{15\pi}{4}$（或填$\frac{15}{4}\pi$ ）
解析
扇形的面积公式为$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）。
已知$r = 3\mathrm{cm}$，$n = 150^{\circ}$，将其代入公式可得：
$S=\frac{150×\pi×3^{2}}{360}=\frac{150×\pi×9}{360}=\frac{15\pi}{4}\mathrm{cm}^{2}$。
已知$r = 3\mathrm{cm}$，$n = 150^{\circ}$，将其代入公式可得：
$S=\frac{150×\pi×3^{2}}{360}=\frac{150×\pi×9}{360}=\frac{15\pi}{4}\mathrm{cm}^{2}$。
4. 已知圆的半径为$4$,弧长为$6$,则此扇形的面积是
12
.答案
12
解析
已知圆的半径$r = 4$，弧长$l = 6$。扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$，代入得$S=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。
5. 已知扇形的半径为$2\mathrm{cm}$,面积是$\frac{4}{3}\pi\mathrm{cm}^{2}$,则扇形的弧长是
$\frac{4\pi}{3}$
$\mathrm{cm}$,扇形的圆心角为$120°$
.答案
弧长填第一空，圆心角填第二空（格式如：$\boxed{\frac{4\pi}{3}}$, $\boxed{120°}$，但按题意只填内容）：
$\boxed{\frac{4\pi}{3}}$, $\boxed{120°}$
解析
已知扇形半径$r=2\mathrm{cm}$，面积$S=\frac{4}{3}\pi\mathrm{cm}^2$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入数据得：
$\frac{4}{3}\pi = \frac{1}{2} × l × 2$，
解得弧长$l = \frac{4\pi}{3}\mathrm{cm}$。
再根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，代入$l=\frac{4\pi}{3}$和$r=2$得：
$\frac{4\pi}{3} = \frac{n\pi × 2}{180}$，
化简得$n = 120°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入数据得：
$\frac{4}{3}\pi = \frac{1}{2} × l × 2$，
解得弧长$l = \frac{4\pi}{3}\mathrm{cm}$。
再根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，代入$l=\frac{4\pi}{3}$和$r=2$得：
$\frac{4\pi}{3} = \frac{n\pi × 2}{180}$，
化简得$n = 120°$。
6. 扇形的圆心角为$210^{\circ}$,弧长是$28\pi$,求扇形的面积.
答案
$336\pi$
解析
已知扇形圆心角$n = 210^{\circ}$，弧长$l = 28\pi$。
1. 求扇形半径$r$
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得：
$28\pi=\frac{210\pi r}{180}$
化简：$28=\frac{7r}{6}$
解得：$r = 24$
2. 求扇形面积$S$
由扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，得：
$S=\frac{1}{2}×28\pi×24 = 336\pi$
1. 求扇形半径$r$
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得：
$28\pi=\frac{210\pi r}{180}$
化简：$28=\frac{7r}{6}$
解得：$r = 24$
2. 求扇形面积$S$
由扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，得：
$S=\frac{1}{2}×28\pi×24 = 336\pi$
7. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,$E为弦CD$的中点.
(1) 求证：$\angle BOD = 2\angle BAC$.
(2) 若$CD = AC = 4$,求阴影部分的面积.
]
(1) 求证：$\angle BOD = 2\angle BAC$.
(2) 若$CD = AC = 4$,求阴影部分的面积.
]
答案
(1)见解析；(2)16π/9 - 4√3/3。
解析
(1)连接OC，
∵E为弦CD中点，AB为直径，
∴OE⊥CD（平分弦的直径垂直于弦），
∴OE平分∠COD（等腰三角形三线合一），即∠COE=∠DOE。
∵∠BAC是圆周角，所对弧为BC，
∴∠BAC=1/2∠BOC（圆周角定理）。
∵∠COE=∠DOE，
∴∠BOC=∠BOD（等角的补角相等），
∴∠BOD=2∠BAC。
(2)∵CD=4，E为CD中点，
∴CE=2。
∵AB⊥CD，AC=4，
在Rt△AEC中，sin∠BAC=CE/AC=2/4=1/2，
∴∠BAC=30°。
由(1)得∠BOD=2∠BAC=60°，
∴∠BOC=∠BOD=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°。
设OA=OC=r，在△AOC中，由余弦定理：
AC²=OA²+OC²-2·OA·OC·cos∠AOC，
即4²=r²+r²-2r²cos120°，
16=2r²-2r²(-1/2)=3r²，
∴r²=16/3。
扇形AOC面积=120/360·πr²=1/3·π·16/3=16π/9，
△AOC面积=1/2·r²·sin120°=1/2·16/3·√3/2=4√3/3，
阴影面积=16π/9 - 4√3/3。
∵E为弦CD中点，AB为直径，
∴OE⊥CD（平分弦的直径垂直于弦），
∴OE平分∠COD（等腰三角形三线合一），即∠COE=∠DOE。
∵∠BAC是圆周角，所对弧为BC，
∴∠BAC=1/2∠BOC（圆周角定理）。
∵∠COE=∠DOE，
∴∠BOC=∠BOD（等角的补角相等），
∴∠BOD=2∠BAC。
(2)∵CD=4，E为CD中点，
∴CE=2。
∵AB⊥CD，AC=4，
在Rt△AEC中，sin∠BAC=CE/AC=2/4=1/2，
∴∠BAC=30°。
由(1)得∠BOD=2∠BAC=60°，
∴∠BOC=∠BOD=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°。
设OA=OC=r，在△AOC中，由余弦定理：
AC²=OA²+OC²-2·OA·OC·cos∠AOC，
即4²=r²+r²-2r²cos120°，
16=2r²-2r²(-1/2)=3r²，
∴r²=16/3。
扇形AOC面积=120/360·πr²=1/3·π·16/3=16π/9，
△AOC面积=1/2·r²·sin120°=1/2·16/3·√3/2=4√3/3，
阴影面积=16π/9 - 4√3/3。
