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1. 如图,点 $ B,F,C,E $ 在一条直线上,$ AB // ED $,$ AC // FD $,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 的是(
A.$ \angle A = \angle D $
B.$ AC = DF $
C.$ AB = ED $
D.$ BF = EC $
A
)A.$ \angle A = \angle D $
B.$ AC = DF $
C.$ AB = ED $
D.$ BF = EC $
答案
A
解析
∵AB//ED，AC//FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE。
选项A：∠A=∠D，结合∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，三个角对应相等，只能判定相似，不能判定全等，符合题意；
选项B：AC=DF，结合∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，可由AAS判定全等，不符合题意；
选项C：AB=ED，结合∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，可由AAS判定全等，不符合题意；
选项D：BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF，结合∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，可由ASA判定全等，不符合题意。
选项A：∠A=∠D，结合∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，三个角对应相等，只能判定相似，不能判定全等，符合题意；
选项B：AC=DF，结合∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，可由AAS判定全等，不符合题意；
选项C：AB=ED，结合∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，可由AAS判定全等，不符合题意；
选项D：BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF，结合∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，可由ASA判定全等，不符合题意。
2. 如图,$ \triangle ADB \cong \triangle ECB $,$ \angle CBD = 40^{\circ} $,$ BD \perp EC $,则 $ \angle D $ 的度数为
50°
.答案
50°
解析
设BD与EC交于点O，∵BD⊥EC，∴∠COB=90°。在△COB中，∠CBD=40°，∠COB=90°，∴∠ECB=180°-90°-40°=50°。∵△ADB≌△ECB，∴∠D=∠ECB=50°。
3. 如图,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $,$ S_{\triangle ABC} = 7 $,$ DE = 2 $,$ AB = 4 $,则 $ AC $ 的长是(
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 5 $
A
)A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 5 $
答案
A
解析
过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=7，AB=4，∴1/2×4×2 + 1/2×AC×2 = 7，解得AC=3
4. 如图,$ AB = AC $,$ AD = AE $,$ \angle BAC = \angle DAE $,$ \angle 1 = 25^{\circ} $,$ \angle 2 = 30^{\circ} $,连结 $ BE $,点 $ D $ 恰好在 $ BE $ 上,则 $ \angle 3 = $(
A.$ 60^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.无法计算
B
)A.$ 60^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.无法计算
答案
B
解析
∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）。
∴∠ABD=∠ACE=∠2=30°。
在△ABD中，∠BAD=∠1=25°，∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-25°-30°=125°。
∵点D在BE上，∴∠ADB+∠3=180°，
∴∠3=180°-125°=55°。
∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）。
∴∠ABD=∠ACE=∠2=30°。
在△ABD中，∠BAD=∠1=25°，∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-25°-30°=125°。
∵点D在BE上，∴∠ADB+∠3=180°，
∴∠3=180°-125°=55°。
5. 如图,点 $ A,B,C,D $ 在一条直线上,$ AB = CD $,$ \angle A = \angle FBD $,$ CE // DF $。求证：$ CE = DF $.
答案
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD。
∵CE//DF，
∴∠ACE=∠D。
在△ACE和△BDF中，
∠A=∠FBD，
AC=BD，
∠ACE=∠D，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴CE=DF。
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD。
∵CE//DF，
∴∠ACE=∠D。
在△ACE和△BDF中，
∠A=∠FBD，
AC=BD，
∠ACE=∠D，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴CE=DF。
6. 如图,已知 $ AB = BC $,$ AB \perp BC $,$ AE \perp BD $ 于点 $ E $,$ CD \perp BD $ 于点 $ D $.
(1) 猜想线段 $ DE,AE,CD $ 的数量关系,并证明.
(2) 若 $ AE = 6 $,求 $ \triangle ABD $ 的面积.
(1) 猜想线段 $ DE,AE,CD $ 的数量关系,并证明.
(2) 若 $ AE = 6 $,求 $ \triangle ABD $ 的面积.
答案
(1) DE=AE+CD；(2) 18.
解析
(1) DE=AE+CD.
证明：
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠ABE+∠CBD=90°.
∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴∠AEB=∠CDB=90°.
在Rt△AEB中，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBD（同角的余角相等）.
在△AEB和△BDC中：
∠AEB=∠CDB=90°，∠BAE=∠CBD，AB=BC，
∴△AEB≌△BDC（AAS）.
∴AE=BD，BE=CD（全等三角形对应边相等）.
∵E，B，D在同一直线上，∴DE=BE+BD=CD+AE，即DE=AE+CD.
(2) ∵△AEB≌△BDC，∴AE=BD=6.
∵AE⊥BD，∴S△ABD=1/2×BD×AE=1/2×6×6=18.
证明：
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠ABE+∠CBD=90°.
∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴∠AEB=∠CDB=90°.
在Rt△AEB中，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBD（同角的余角相等）.
在△AEB和△BDC中：
∠AEB=∠CDB=90°，∠BAE=∠CBD，AB=BC，
∴△AEB≌△BDC（AAS）.
∴AE=BD，BE=CD（全等三角形对应边相等）.
∵E，B，D在同一直线上，∴DE=BE+BD=CD+AE，即DE=AE+CD.
(2) ∵△AEB≌△BDC，∴AE=BD=6.
∵AE⊥BD，∴S△ABD=1/2×BD×AE=1/2×6×6=18.
