2. 运用完全平方公式计算：
(1)$(2y + 3x)(-3x - 2y)$；
(2)$(x - 3)(x + 3)(x^2 - 9)$。

(1)
$\begin{aligned} &(2y + 3x)(-3x - 2y) \\ =&-(2y + 3x)(3x + 2y) \\ =&-( (2y)^{2} + 2× 2y× 3x + (3x)^{2} ) \\ =&-(4y^{2} + 12xy + 9x^{2}) \\ =&-9x^{2} - 12xy - 4y^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} &(x - 3)(x + 3)(x^2 - 9) \\ =&(x^{2} - 9)(x^{2} - 9) \\ =&(x^{2} - 9)^{2} \\ =&x^{4} - 18x^{2} + 81 \end{aligned}$

【典型例题2】(1)运用完全平方公式计算：
①$201^2$；②$999^2$。
(2)已知$a + b = 5$,$ab = -6$,求下列各式的值：
①$a^2 + b^2$；②$a^2 - ab + b^2$。

【解】
(1)①$201^2 = (200 + 1)^2 = 200^2 + 2× 200× 1 + 1^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$。
②$999^2 = (1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2000 + 1 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001$。
(2)①$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2× (-6) = 25 + 12 = 37$。
②$a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab = 5^2 - 3× (-6) = 25 + 18 = 43$。

3. 若$a + b = 3$,$a^2 + b^2 = 7$,则$ab$等于()
A.2
B.1
C.-2
D.-1

B

根据完全平方公式，有$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
将$a + b = 3$代入，得到$(a + b)^2 = 3^2 = 9$，
即$a^2 + 2ab + b^2 = 9$。
又因为$a^2 + b^2 = 7$，将其代入上式，得到：
$7 + 2ab = 9$，
解这个方程，得到：
$2ab = 2 \quad （移项）$
$ab = 1$

1. 下列各式能运用完全平方公式计算的是()
A.$(2a + b)(a - 2b)$
B.$(a + 2b)(2b - a)$
C.$(2a + b)(-2a - b)$
D.$(b - 2a)(-2a - b)$

C

完全平方公式为$(m \pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$，要求两数和（差）的平方，即两项式且相同两个数（或式）相（减）的平方形式。
选项A：$(2a + b)(a - 2b)$，两个括号内式子不同，无法构成完全平方公式。
选项B：$(a + 2b)(2b - a)=(2b + a)(2b - a)$，可看作$(m + n)(m - n)$形式，是平方差公式，不是完全平方公式。
选项C：$(2a + b)(-2a - b)=-(2a + b)(2a + b)=-(2a + b)^2$，符合完全平方公式的形式。
选项D：$(b - 2a)(-2a - b)=(-2a + b)(-2a - b)$，可看作$(m + n)(m - n)$形式，是平方差公式，不是完全平方公式。

2. 如图,图1中的阴影部分移动成图2,根据两个图形中阴影部分的关系,可以验证下列哪个计算公式()

A.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$(a + b)^2 = 4ab + (a - b)^2$

B

图1阴影部分面积为4个边长为b的小正方形，即$4b^2$；图2阴影部分为4个长为b、宽为(a-b)的长方形，即$4b(a - b)$。由面积相等得$4b^2 = 4b(a - b)$，化简得$b = a - b$，此思路错误。重新分析：图1大正方形边长为a，空白部分是长(a-b)、宽(a-b)的正方形，阴影面积$a^2 - (a - b)^2 = 2ab - b^2$；图2阴影是4个长b、宽(a-b)的长方形，面积$4b(a - b)$，两者不相等。正确观察：图1阴影是边长为b的2×2正方形，面积$(2b)^2 = 4b^2$；图2阴影是4个长b、宽(a-b)的长方形，面积$4b(a - b)$，$4b^2 = 4b(a - b)$→$b = a - b$→$a = 2b$，代入选项B：$(2b - b)^2 = (2b)^2 - 2×2b×b + b^2$→$b^2 = 4b^2 - 4b^2 + b^2$，成立。故验证$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。

3. $(2x + 4y)^2 = 4x^2 + $$ + 16y^2$。

$16xy$

根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，在$(2x + 4y)^2$中$a = 2x$，$b = 4y$，则$(2x + 4y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(4y)+(4y)^2 = 4x^2+16xy + 16y^2$。