10. 计算：
(1)$ (-1)^{2023} - 3 × (-1)^{3} $；
(2)$ 8 - 2^{3} ÷ (-4) × (-7 + 5) $；
(3)$ 8 + (-3)^{2} × (-2)^{3} $。

（1）2 （2）4 （3）-64

(1)原式$=-1 - 3×(-1)$
$=-1 + 3$
$=2$
(2)原式$=8 - 8÷(-4)×(-2)$
$=8 - (-2)×(-2)$
$=8 - 4$
$=4$
(3)原式$=8 + 9×(-8)$
$=8 - 72$
$=-64$

1. 下列各数互为相反数的是()
A.$ 3 $ 与 $ |-3| $
B.$ (-3)^{2} $ 与 $ -3^{2} $
C.$ (-2)^{3} $ 和 $ -2^{3} $
D.$ (a - b) $ 与 $ (-a - b) $

B

A. $|-3|=3$，3与3不互为相反数；
B. $(-3)^2=9$，$-3^2=-9$，9与-9互为相反数；
C. $(-2)^3=-8$，$-2^3=-8$，-8与-8不互为相反数；
D. $(a - b)+(-a - b)=-2b$，不一定等于0，不互为相反数。
结论：B

2. 对于 $ a^{n} $ 有下列说法：① $ a $ 的 $ n $ 次幂；② $ n $ 个 $ a $ 相乘；③ $ a $ 的 $ n $ 次方；④ $ n $ 个 $ a $ 相加；⑤ 以 $ a $ 为底,$ n $ 为指数。其中正确的有()
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

D

①$a^n$可读作$a$的$n$次幂，正确；
②$a^n$表示$n$个$a$相乘，正确；
③$a^n$可读作$a$的$n$次方，正确；
④$n$个$a$相加表示为$na$，不是$a^n$，错误；
⑤$a^n$中以$a$为底，$n$为指数，正确。
正确的有①②③⑤，共4个。
D

3. 一根长 $ 1m $ 的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如果剪下去,第六次后剩下的绳子的长度为()
A.$ \left( \frac{1}{2} \right)^{3} m $
B.$ \left( \frac{1}{2} \right)^{5} m $
C.$ \left( \frac{1}{2} \right)^{6} m $
D.$ \left( \frac{1}{2} \right)^{12} m $

C

第一次剪后剩下：$1×\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^1\ m$
第二次剪后剩下：$\left(\frac{1}{2}\right)^1×\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\ m$
第三次剪后剩下：$\left(\frac{1}{2}\right)^2×\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\ m$
$\vdots$
第六次剪后剩下：$\left(\frac{1}{2}\right)^6\ m$
C

4. 计算：
(1)$ 3^{3} ÷ \frac{9}{4} × \left( -\frac{2}{3} \right)^{2} + 4 - 2^{2} × \frac{1}{3} $；
(2)$ \left[ -2^{3} ÷ (-2)^{3} - \frac{3}{5} × \left( \frac{5}{9} \right)^{2} \right] ÷ \left[ \left( 1 - \frac{3}{2} \right) × \frac{2}{3} \right]^{3} $。

（1）8 （2）-22

(1) $3^{3} ÷ \frac{9}{4} × \left( -\frac{2}{3} \right)^{2} + 4 - 2^{2} × \frac{1}{3}$
$=27×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}+4 - 4×\frac{1}{3}$
$=12×\frac{4}{9}+4 - \frac{4}{3}$
$=\frac{16}{3}+4 - \frac{4}{3}$
$=\frac{12}{3}+4$
$=4 + 4$
$=8$
(2) $\left[ -2^{3} ÷ (-2)^{3} - \frac{3}{5} × \left( \frac{5}{9} \right)^{2} \right] ÷ \left[ \left( 1 - \frac{3}{2} \right) × \frac{2}{3} \right]^{3}$
$=\left[ -8 ÷ (-8) - \frac{3}{5} × \frac{25}{81} \right] ÷ \left[ \left( -\frac{1}{2} \right) × \frac{2}{3} \right]^{3}$
$=\left[ 1 - \frac{5}{27} \right] ÷ \left( -\frac{1}{3} \right)^{3}$
$=\frac{22}{27} ÷ \left( -\frac{1}{27} \right)$
$=\frac{22}{27} × (-27)$
$=-22$

5. 定义一种新运算：$ a * b = a^{2} - b + ab $。例如：$ (-1) * 3 = (-1)^{2} - 3 + (-1) × 3 = -5 $,求 $ 4 * [2 * (-3)] $ 的值。

原式=4*[2²-(-3)+2×(-3)]=4*1=4²-1+4×1=16-1+4=19.

$2*(-3)=2^{2}-(-3)+2×(-3)=4+3-6=1$
$4*[2*(-3)]=4*1=4^{2}-1+4×1=16-1+4=19$

6. 观察下面三行数：
$ -3 $,$ 9 $,$ -27 $,$ 81 $,…$$；①
$ 1 $,$ -3 $,$ 9 $,$ -27 $,…$$；②
$ -2 $,$ 10 $,$ -26 $,$ 82 $,…$$。③
(1)第①行数排列规律是什么？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)设 $ x $,$ y $,$ z $ 分别为第①②③行的第 $ 2022 $ 个数,求 $ x + 6y + z $ 的值。

（1）第①行数排列规律是(-3)¹,(-3)²,(-3)³,(-3)⁴,…,(-3)ⁿ. （2）第②行数是第①行数相应的数乘-1/3即-1/3×(-3)ⁿ,第③行数比第①行数大1即(-3)ⁿ+1. （3）x+6y+z=1

（1）第①行数排列规律是$(-3)^1,(-3)^2,(-3)^3,(-3)^4,\ldots,(-3)^n$。
（2）第②行数是第①行数相应的数乘$-\dfrac{1}{3}$，即$-\dfrac{1}{3}×(-3)^n$；第③行数比第①行数大$1$，即$(-3)^n + 1$。
（3）$x=(-3)^{2022}$，$y=-\dfrac{1}{3}×(-3)^{2022}$，$z=(-3)^{2022}+1$，则$x + 6y + z=(-3)^{2022}+6×\left(-\dfrac{1}{3}×(-3)^{2022}\right)+(-3)^{2022}+1=(-3)^{2022}-2×(-3)^{2022}+(-3)^{2022}+1=1$。