4. 将长方形纸片 $ ABCD $ 按如图所示的方式折叠,$ EF $,$ EG $ 为折痕,折叠后点 $ A' $,$ B' $,$ E $ 在同一直线上,则 $ \angle FEG $ 的度数为()

A.$ 75^{\circ} $
B.$ 95^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

C

根据折叠性质可知：
$\angle AEF=\angle A^{\prime}EF$，$\angle BEG=\angle B^{\prime}EG$。
因为$\angle AEF+\angle A^{\prime}EF+\angle B^{\prime}EG+\angle BEG = 180^{\circ}$，
即$2(\angle A^{\prime}EF+\angle B^{\prime}EG)=180^{\circ}$。
所以$\angle A^{\prime}EF+\angle B^{\prime}EG = 90^{\circ}$，即$\angle FEG = 90^{\circ}$。

5. 如图,$ \angle B = \angle C = 90^{\circ} $,$ AE $ 平分 $ \angle BAD $,$ DE $ 平分 $ \angle ADC $,若 $ S_{\triangle CDE} : S_{\triangle ABE} = 2 : 3 $,则 $ S_{\triangle ADE} : S_{\triangle DCE} = $。

$5:2$（或写成$\frac{5}{2}$ ，若用比的形式填写答案就填$5:2$）

作$EH\bot AD$于$H$，
$\because\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，$AE$平分$\angle BAD$，$DE$平分$\angle ADC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore EH = EB=EC$，
设$BE = EH = EC = x$，$AB = a$，$CD = b$，
因为$S_{\triangle CDE}:\ S_{\triangle ABE}=2:3$，
$\therefore\frac{\frac{1}{2}× x× CD}{\frac{1}{2}× x× AB}=\frac{CD}{AB}=\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$，
在$\triangle ABE$和$\triangle AHE$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle AHE,\\\angle BAE=\angle HAE,\\AE = AE.\end{cases}$
根据$AAS$可得$\triangle ABE\cong\triangle AHE$，
$\therefore AB = AH = a$，
同理可证$DH = CD = b$，
$\therefore AD=a + b$，
$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}× AD× EH=\frac{1}{2}×(a + b)× x$，
$S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}× CD× EC=\frac{1}{2}× b× x$，
则$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle DCE}}=\frac{\frac{1}{2}×(a + b)× x}{\frac{1}{2}× b× x}=\frac{a + b}{b}=\frac{2 + 3}{2}=\frac{5}{2}=2.5$，即$5:2$（这里$\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+1$，由$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$可得$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，$\frac{a}{b}+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$）

6. 如图,$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $,$ BC $ 的延长线交 $ DE $ 于 $ F $,$ \angle B = 25^{\circ} $,$ \angle ACB = 105^{\circ} $,$ \angle DAC = 10^{\circ} $,则 $ \angle DFB = $$ ^{\circ} $。

90

在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-25°-105°=50°。
∵△ABC≌△ADE，∴∠D=∠B=25°，∠DAE=∠BAC=50°。
设BC与AD交于点O，∠DAC=10°，则在△AOC中，∠OAC=10°，∠ACO=∠ACB=105°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=180°-10°-105°=65°。
∵∠AOC=∠DOF（对顶角相等），∴∠DOF=65°。
在△DOF中，∠DFO=180°-∠D-∠DOF=180°-25°-65°=90°，即∠DFB=90°。

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ AC $ 上,且 $ AD = AB $。
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出 $ \angle A $ 的平分线(保留作图痕迹,不写作法)；
(2) 若(1)中所作的角平分线与边 $ BC $ 交于点 $ E $,连接 $ DE $。求证：$ BE = DE $。

(1) 作图：以点$A$为圆心，以任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AC$于两点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧相交于角$A$内一点，过点$A$和这个交点作射线，此射线即为$\angle A$的平分线。
(2)
$\begin{aligned}& \because AE 平分 \angle BAC \\& \therefore \angle BAE = \angle DAE \\& \begin{array}{l l l l l}在\triangle ABE与\triangle ADE中 & \begin{cases} AB = AD \\\angle BAE = \angle DAE \\AE = AE \end{cases} \end{array} \\& \therefore \triangle ABE\cong \triangle ADE(SAS) \\& \therefore BE = DE\end{aligned}$

8. 如图,点 $ D $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $ 的中点,且 $ AE // BC $,$ BC = 9 $,$ AE = 5 $,连接 $ ED $ 并延长交 $ BC $ 于 $ F $。求 $ BF $ 的长。

解：因为$AE// BC$，
所以$\angle EAD=\angle FCD$，$\angle AED=\angle CFD$，
因为点$D$是$AC$的中点，
所以$AD = CD$，
在$\triangle AED$和$\triangle CFD$中，
$\begin{cases}\angle EAD=\angle FCD\\\angle AED=\angle CFD\\AD = CD\end{cases}$
所以$\triangle AED\cong\triangle CFD(AAS)$，
所以$FC=AE = 5$，
又因为$BC = 9$，
所以$BF=BC - FC=9 - 5 = 4$。

9. 如图,$ \angle BCE = 90^{\circ} $,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ EF // AB $,交 $ AC $ 于点 $ D $,且 $ BC = EC $。
求证：$ AB + AD = DE $。

证明：
1. ∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余）。
2. ∵∠BCE=90°，即∠ACB+∠ECD=90°，∴∠B=∠ECD（同角的余角相等）。
3. ∵EF//AB，∠BAC=90°，∴∠EDC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）。
4. 在△ABC和△DCE中：
∠BAC=∠EDC=90°，
∠B=∠ECD，
BC=EC，
∴△ABC≌△DCE（AAS）。
5. ∴AB=DC，AC=DE（全等三角形对应边相等）。
6. ∵AC=AD+DC，∴AC=AD+AB（等量代换）。
7. ∵AC=DE，∴DE=AD+AB，即AB+AD=DE。
结论：AB + AD = DE。

10. 如图,$ CE $,$ CB $ 分别是 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADC $ 的中线,且 $ AC = AB $。求证：$ CD = 2CE $。

证明：延长CE至点F，使EF=CE，连接BF。
∵CE是△ABC的中线，∴E为AB中点，即AE=BE。
在△AEC和△BEF中，
∵AE=BE，∠AEC=∠BEF，CE=FE，
∴△AEC≌△BEF（SAS）。
∴BF=AC，∠FBE=∠CAE。
∵AC=AB，∴BF=AB。
∵CB是△ADC的中线，∴B为AD中点，即AB=BD。
∴BF=BD。
∵AC=AB，∴△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠ABC。
∵∠FBE=∠CAE，∴∠CBF=∠CBA+∠FBE=∠CBA+∠CAE。
在△ABC中，∠CBA+∠CAE+∠ACB=180°，又∠ACB=∠ABC，
∴∠CBA+∠CAE=180°-∠ACB=180°-∠ABC=∠CBD。
∴∠CBF=∠CBD。
在△CBF和△CBD中，
∵CB=CB，∠CBF=∠CBD，BF=BD，
∴△CBF≌△CBD（SAS）。
∴CF=CD。
∵CF=CE+EF=2CE，
∴CD=2CE。