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7. 如图,圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形).已知桌面的直径为1m,桌面距离地面0.8m,如果灯泡距地面2.8m,求地面上的阴影的面积.(结果保留π)
答案
设地面上的阴影的直径为$x$ m。
利用相似三角形的性质可得：
$\frac{1}{x} = \frac{2.8 - 0.8}{2.8}$
即：
$\frac{1}{x} = \frac{2}{2.8} = \frac{5}{7}$
解得 $x = \frac{7}{5} = 1.4$，这是阴影的直径，
半径为$\frac{x}{2} = 0.7$ m。
阴影面积为：
$S = \pi r^2 = \pi × (0.7)^2 = 0.49\pi (m^2)$
答：地面上的阴影的面积为$0.49\pi$平方米。
利用相似三角形的性质可得：
$\frac{1}{x} = \frac{2.8 - 0.8}{2.8}$
即：
$\frac{1}{x} = \frac{2}{2.8} = \frac{5}{7}$
解得 $x = \frac{7}{5} = 1.4$，这是阴影的直径，
半径为$\frac{x}{2} = 0.7$ m。
阴影面积为：
$S = \pi r^2 = \pi × (0.7)^2 = 0.49\pi (m^2)$
答：地面上的阴影的面积为$0.49\pi$平方米。
8. 如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上).测得AC= 2m,BD= 2.1m,小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.
答案
设楼的高度为$OE = h$米，小明眼睛高度$BF = DG = 1.6$米。
由光的反射定律，入射角等于反射角，且$OE \perp OD$，$BF \perp OD$，$DG \perp OD$，故$\triangle EOA \sim \triangle FBA$，$\triangle EOC \sim \triangle GDC$。
第一步：相似三角形比例关系
1. 对$\triangle EOA \sim \triangle FBA$，有$\frac{OE}{BF} = \frac{OA}{BA}$，即$\frac{h}{1.6} = \frac{OA}{BA}$ ①；
2. 对$\triangle EOC \sim \triangle GDC$，有$\frac{OE}{DG} = \frac{OC}{DC}$，即$\frac{h}{1.6} = \frac{OC}{DC}$ ②。
由①②得$\frac{OA}{BA} = \frac{OC}{DC}$，设$BA = m$，$DC = n$，$OA = x$，则$OC = OA + AC = x + 2$，故$\frac{x}{m} = \frac{x + 2}{n}$，整理得$x(n - m) = 2m$ ③。
第二步：利用线段关系求$n - m$
因为$BD = 2.1$米，且$BD = (OC + n) - (OA + m) = (x + 2 + n) - (x + m) = 2 + (n - m)$，所以$2 + (n - m) = 2.1$，解得$n - m = 0.1$。
第三步：求解楼高$h$
将$n - m = 0.1$代入③，得$x \cdot 0.1 = 2m$，即$\frac{x}{m} = 20$。由①$\frac{h}{1.6} = \frac{x}{m} = 20$，解得$h = 20 × 1.6 = 32$。
结论：楼的高度$OE$为$32$米。
$\boxed{32}$
由光的反射定律，入射角等于反射角，且$OE \perp OD$，$BF \perp OD$，$DG \perp OD$，故$\triangle EOA \sim \triangle FBA$，$\triangle EOC \sim \triangle GDC$。
第一步：相似三角形比例关系
1. 对$\triangle EOA \sim \triangle FBA$，有$\frac{OE}{BF} = \frac{OA}{BA}$，即$\frac{h}{1.6} = \frac{OA}{BA}$ ①；
2. 对$\triangle EOC \sim \triangle GDC$，有$\frac{OE}{DG} = \frac{OC}{DC}$，即$\frac{h}{1.6} = \frac{OC}{DC}$ ②。
由①②得$\frac{OA}{BA} = \frac{OC}{DC}$，设$BA = m$，$DC = n$，$OA = x$，则$OC = OA + AC = x + 2$，故$\frac{x}{m} = \frac{x + 2}{n}$，整理得$x(n - m) = 2m$ ③。
第二步：利用线段关系求$n - m$
因为$BD = 2.1$米，且$BD = (OC + n) - (OA + m) = (x + 2 + n) - (x + m) = 2 + (n - m)$，所以$2 + (n - m) = 2.1$，解得$n - m = 0.1$。
第三步：求解楼高$h$
将$n - m = 0.1$代入③，得$x \cdot 0.1 = 2m$，即$\frac{x}{m} = 20$。由①$\frac{h}{1.6} = \frac{x}{m} = 20$，解得$h = 20 × 1.6 = 32$。
结论：楼的高度$OE$为$32$米。
$\boxed{32}$
9. 如图,AB为路灯主杆,AE为路灯的悬臂,AE长3m,CD是长为1.8m的标杆.已知路灯悬臂AE与地面BG平行,当标杆竖立于地面时,主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上,此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上(路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上).这时测得FG长1.5m,求路灯主杆AB的高度.
答案
路灯主杆$ AB $的高度为$ 5.4 $米。
解析
设 $ BC = x \, m $，$ AB = h \, m $。
因为 $ AE // BG $，所以 $ \triangle AED \sim \triangle BFD $，$ \triangle ACD \sim \triangle ABG $。
由 $ \triangle AED \sim \triangle BFD $ 得：$ \frac{AE}{BF} = \frac{AD}{BD} $，即 $ \frac{3}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{1.8} $。
由 $ \triangle ACD \sim \triangle ABG $ 得：$ \frac{CD}{BG} = \frac{AC}{AB} $，即 $ \frac{1.8}{x + FG} = \frac{h - 1.8}{h} $，又 $ FG = 1.5 \, m $，故 $ \frac{1.8}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{h} $。
联立两式：$ \frac{3}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{1.8} $ 和 $ \frac{1.8}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{h} $，解得 $ h = 5.4 $。
路灯主杆 $ AB $ 的高度为 $ 5.4 \, m $。
因为 $ AE // BG $，所以 $ \triangle AED \sim \triangle BFD $，$ \triangle ACD \sim \triangle ABG $。
由 $ \triangle AED \sim \triangle BFD $ 得：$ \frac{AE}{BF} = \frac{AD}{BD} $，即 $ \frac{3}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{1.8} $。
由 $ \triangle ACD \sim \triangle ABG $ 得：$ \frac{CD}{BG} = \frac{AC}{AB} $，即 $ \frac{1.8}{x + FG} = \frac{h - 1.8}{h} $，又 $ FG = 1.5 \, m $，故 $ \frac{1.8}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{h} $。
联立两式：$ \frac{3}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{1.8} $ 和 $ \frac{1.8}{x + 1.5} = \frac{h - 1.8}{h} $，解得 $ h = 5.4 $。
路灯主杆 $ AB $ 的高度为 $ 5.4 \, m $。
