12. 如图,在边长为 6 的正方形 $ABCD$ 中,E 是 AB 的中点,以点 E 为圆心,ED 为半径作半圆,交点 A,B 所在的直线于 M,N 两点,分别以 MD,ND 为直径作半圆,则阴影部分的面积为()

A.$9\sqrt{5}$
B.$18\sqrt{5}$
C.$36\sqrt{5}$
D.$72\sqrt{5}$

B

在正方形 $ABCD$ 中，$AD = AB = 6$，$E$ 是 $AB$ 中点，$AE = EB = 3$。
在 $Rt\triangle ADE$ 中，$ED = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}$。
以 $E$ 为圆心，$ED$ 为半径的半圆交直线 $AB$ 于 $M$，$N$，则 $EM = EN = ED = 3\sqrt{5}$。
$AM = EM - AE = 3\sqrt{5} - 3$，$BN = EN - EB = 3\sqrt{5} - 3$，$MN = AM + AB + BN = 6\sqrt{5}$。
以 $MD$，$ND$ 为直径的半圆面积和为：
$\frac{1}{2}\pi\left(\frac{MD}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{ND}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{8}(MD^2 + ND^2)$
在 $Rt\triangle MAD$ 和 $Rt\triangle NBD$ 中，$MD^2 = AD^2 + AM^2$，$ND^2 = BD^2 + BN^2$，且 $AM = BN$，故 $MD^2 + ND^2 = 2AD^2 + 2AM^2$。
$MD^2 + ND^2 = 2×6^2 + 2(3\sqrt{5} - 3)^2 = 72 + 2(45 - 18\sqrt{5} + 9) = 180 - 36\sqrt{5}$
两半圆面积和为 $\frac{\pi}{8}(180 - 36\sqrt{5}) = \frac{\pi}{2}(45 - 9\sqrt{5})$。
以 $MN$ 为直径的半圆面积为 $\frac{1}{2}\pi\left(\frac{MN}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi(3\sqrt{5})^2 = \frac{45\pi}{2}$。
阴影部分面积 = 两半圆面积和 - 以 $MN$ 为直径的半圆面积 + $\triangle MDN$ 面积。
$\triangle MDN$ 面积 = $\frac{1}{2}MN × AD = \frac{1}{2} × 6\sqrt{5} × 6 = 18\sqrt{5}$。
$阴影面积 = \frac{\pi}{2}(45 - 9\sqrt{5}) - \frac{45\pi}{2} + 18\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$
B

13. 如图,$AC\perp BC$,$AC= BC= 4$,以 AC 为直径作半圆,圆心为点 O,以点 C 为圆心,BC 为半径作 $\overset{\frown}{AB}$.过点 O 作 BC 的平行线交两弧于点 D,E,求阴影部分的面积.

$\boxed{\dfrac{5}{3}\pi + 2 - 2\sqrt{3}}$

解：
1. 建立坐标系与确定关键点坐标
以点$ C $为原点，$ BC $为$ x $轴，$ AC $为$ y $轴，得：
$ C(0,0) $，$ A(0,4) $，$ B(4,0) $，$ AC $中点$ O(0,2) $。
2. 确定两弧方程及交点坐标
以$ AC $为直径的半圆：圆心$ O(0,2) $，半径$ 2 $，方程$ x^2+(y-2)^2=4 $。
以$ C $为圆心、$ BC=4 $为半径的弧$ AB $：方程$ x^2+y^2=16 $。
过$ O $作$ BC $的平行线（水平线$ y=2 $），交半圆于$ D $，交弧$ AB $于$ E $。
联立$ y=2 $与半圆方程：$ x^2=4 \Rightarrow x=2 $（第一象限），得$ D(2,2) $。
联立$ y=2 $与弧$ AB $方程：$ x^2=12 \Rightarrow x=2\sqrt{3} $（第一象限），得$ E(2\sqrt{3},2) $。
3. 计算扇形与三角形面积
扇形$ COE $（圆心$ C $，半径$ 4 $，圆心角$ \angle OCE $）：
$ \cos\angle OCE=\frac{OC}{CE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle OCE=60^\circ $，
面积$ S_1=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi×4^2=\frac{8}{3}\pi $。
$ \triangle COE $：直角边$ OC=2 $，$ OE=2\sqrt{3} $，面积$ S_2=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3} $。
扇形$ OCD $（圆心$ O $，半径$ 2 $，圆心角$ 90^\circ $）：
面积$ S_3=\frac{90^\circ}{360^\circ}\pi×2^2=\pi $。
$ \triangle OCD $：直角边$ OC=2 $，$ OD=2 $，面积$ S_4=\frac{1}{2}×2×2=2 $。
4. 计算阴影面积
阴影面积 =（扇形$ COE $面积 - $ \triangle COE $面积） - （扇形$ OCD $面积 - $ \triangle OCD $面积）
$ = \left( \frac{8}{3}\pi - 2\sqrt{3} \right) - \left( \pi - 2 \right) = \frac{5}{3}\pi + 2 - 2\sqrt{3} $。

14. 如图,圆心角都是 $90^\circ$ 的扇形 AOB 与扇形 COD 叠放在一起,连结 AC,BD.
(1)求证:$AC= BD$.
(2)若图中阴影部分的面积是 $\frac{3}{4}\pi\ cm^2$,$OA= 2\ cm$,求 OC 的长.

(1)证明：
$\because \angle AOB = \angle COD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOD = \angle AOD$，
$\angle AOB - \angle AOD = \angle COD - \angle AOD$，
即$\angle AOC = \angle DOB$，
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，
$\begin{cases}OA = OB,\\\angle AOC = \angle BOD,\\OC = OD.\end{cases}$
$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD(SAS)$，
$\therefore AC = BD$。
(2)$\because S_{阴影} = S_{扇形AOB} - S_{扇形COD} = \frac{3}{4}\pi$，
$\therefore \frac{90\pi \cdot OA^{2}}{360} - \frac{90\pi \cdot OC^{2}}{360} = \frac{3}{4}\pi$，
$\therefore \frac{1}{4}\pi(2^{2} - OC^{2}) = \frac{3}{4}\pi$，
$\therefore 4 - OC^{2} = 3$，
$\therefore OC = 1cm$。