例3 在同一平面内,已知点O到直线l的距离为5. 以O为圆心、r为半径画圆.
(1) 当r= 时,⊙O上有且只有1个点到直线l的距离为3；
(2) 当r= 时,⊙O上有且只有3个点到直线l的距离为3；
(3) 随着r的变化,⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化？
分析:(1) 根据垂线段最短,要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3,则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点,此时圆的半径是5-3= 2.
(2) 根据点O到直线l的距离为5,要使⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3,则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切. 此时圆的半径是5+3= 8.
解:(1) r= 5-3= 2；

(2) r= 5+3= 8；
(3) 当0＜r＜2时,⊙O上没有点到直线l的距离等于3；
如图①,当r= 2时,⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3；
如图②,当2＜r＜8时,⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3；
如图③,当r= 8时,⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3；
如图④,当r＞8时,⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3.

【解析】：本题主要考查了直线与圆的位置关系以及数形结合的思想。
（1）要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3，
则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点。
已知点O到直线l的距离为5，
所以圆的半径$r$应为点O到直线l的距离减去3，
即$r = 5 - 3 = 2$。
（2）要使⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3，
需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切。
已知点O到直线l的距离为5，
所以圆的半径$r$应为点O到直线l的距离加上3，
即$r = 5 + 3 = 8$。
（3）随着$r$的变化，⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数会有所变化。
当$0＜r＜2$时，由于圆的半径小于点O到直线l的距离减去3，
所以⊙O上没有点到直线l的距离等于3。
当$r= 2$时，圆的半径恰好等于点O到直线l的距离减去3，
所以⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3。
当$2＜r＜8$时，圆的半径大于点O到直线l的距离减去3但小于点O到直线l的距离加上3，
所以⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3。
当$r= 8$时，圆的半径恰好等于点O到直线l的距离加上3，
所以⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3。
当$r＞8$时，圆的半径大于点O到直线l的距离加上3，
所以⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3。
【答案】：(1)$2$；(2)$8$；(3)当$0＜r＜2$时,⊙O上没有点到直线l的距离等于3；当$r= 2$时,⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3；当$2＜r＜8$时,⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3；当$r= 8$时,⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3；当$r＞8$时,⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3。

8. 某加油站五月份营销一种汽油的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图像如图中折线所示,该加油站截至5月13日调价时的销售利润为4万元,截至5月15日进油时的销售利润为5.5万元. 请你根据图像及加油站五月份该种汽油的所有销售记录提供的信息,解答下列问题：
(1) 销售量x为多少万升时,销售利润y为4万元？
(2) 分别求出线段AB与BC相应的函数表达式.
(3) 销售每升油所获得的利润称为利润率. 在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最高？(直接写出答案)

| 五月份销售记录 |
| 1日：有库存6万升,成本价7元/升,售价8元/升. |
| 13日：售价调整为8.5元/升. |
| 15日：进油4万升,成本价7.5元/升. |
| 31日：本月共销售10万升. |

(1) 解：由题意，OA段每升利润为8 - 7 = 1元，利润y = x×1 = x。当y = 4时，x = 4。答：销售量为4万升时，销售利润为4万元。
(2) 解：设A点坐标为(4, 4)。13日调价后，库存还剩6 - 4 = 2万升，售价8.5元/升，每升利润8.5 - 7 = 1.5元。设B点销售量为x₂，利润5.5万元，AB段利润为5.5 - 4 = 1.5万元，AB段销售量为1.5÷1.5 = 1万升，故x₂ = 4 + 1 = 5，B(5, 5.5)。
设AB段函数表达式为y = k₁x + b₁，代入(4, 4)，(5, 5.5)：
$\begin{cases}4k₁ + b₁ = 4 \\5k₁ + b₁ = 5.5\end{cases}$
解得k₁ = 1.5，b₁ = -2，AB段：y = 1.5x - 2。
15日进油后，总成本为剩余库存成本 + 新进货成本，剩余库存1万升（6 - 4 - 1 = 1万升），成本7元/升，新进货4万升，成本7.5元/升，总成本1×7 + 4×7.5 = 37万元，总售价设为8.5元/升（假设售价不变），总销售量10万升，C点(10, y₃)。总销售额10×8.5 = 85万元，利润y₃ = 85 - 37 = 48万元？（此处根据图像BC段为直线，设B(5, 5.5)，C(10, y)，设BC段函数表达式为y = k₂x + b₂，代入B(5, 5.5)，C(10, y)，因总销售量10万升，15日后销售量10 - 5 = 5万升，其中1万升成本7元/升，4万升成本7.5元/升，利润为1×(8.5 - 7) + 4×(8.5 - 7.5) = 1.5 + 4 = 5.5万元，故C点利润5.5 + 5.5 = 11万元，即C(10, 11)。
代入B(5, 5.5)，C(10, 11)：
$\begin{cases}5k₂ + b₂ = 5.5 \\10k₂ + b₂ = 11\end{cases}$
解得k₂ = 1.1，b₂ = 0，BC段：y = 1.1x。
(3) OA段利润率1元/升，AB段1.5元/升，BC段1.1元/升，最高为AB段。
答案：(1) 4万升；(2) AB：y = 1.5x - 2，BC：y = 1.1x；(3) AB段。