19. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB= AC,AP//BC. 直线AP是否与⊙O相切?为什么?

解：作直径AD与BC交于点E，连接BD、CD
∵AD为直径
∴∠ABD=∠ACD=90°
在Rt△ABD和Rt△ACD中
${{\begin{cases}{{AB=AC}}\\{AD=AD}\end{cases}}}$
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴∠BAD=∠CAD，AD平分∠BAC
又∵AB=AC
∴AE⊥BC，∠AEB=90°
∵AP//BC\ \ \ ∴∠PAE=∠AEB=90° ∴AP与⊙O相切

20. 如图,CD为⊙O的直径,弦AB交CD于点E,∠CEB= 45°,DE= 9 cm,CE= 3 cm. 求弦AB的长.

解:作OM⊥AB于点M ,连接OA
圆半径$ OA= \frac{1}{2}(DE + EC)= 6cm$
OE= DE- OD = 3cm
在直角△OEM中，∠CEB= 45°\
则$ OM = \frac{\sqrt{2}}{2} OE=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm\ $
在直角△OAM中,根据勾股定理:
$AM= \sqrt{OA^{2}-OM^{2}}= \sqrt{6^{2}-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}}= \frac{3\sqrt{14}}{2}$
所以$ AB= 2AM = 3\sqrt{14}cm$

21. 如图,在矩形ABCD中,AB= 1 cm,BC= 2 cm,以点B为圆心,BC长为半径作弧交AD于点F,交BA的延长线于点E. 求阴影部分的面积.

解:连接BF
因为四边形ABCD是矩形
所以∠CBA=∠BAD=90°
因为∠BAF=90°
所以BF^{2}=BA^{2}+AF^{2}
因为BF=BC=2，AB=1
BF^{2}=BA^{2}+AF^{2}
所以AF^{2}=BF^{2}-BA^{2}=2^{2}-1^{2}
=3
所以$AF= \sqrt{3}$
因为 AB=1，$AF= \sqrt{3}$
∠BAD=90°
所以$ S_{△BAF}= \frac{1}{2}BA·AF= \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为AB=1，BF=2
∠BAF=90°
所以∠BFA=30°
所以∠ABF=60°
因为∠ABF=60°
BE=BF=2
所以$S_{扇形EBF}=\frac{60×π×2^{2}}{360}= \frac{2}{3}π$
所以S_{阴影}=S_{扇形EBF}-S_{△BAF}
$= \frac{2π}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2}(cm^{2})$
即扇形EBC被矩形所截剩余部分
的面积S为$(\frac{2π}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2})cm^{2}$