【例 2】如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 50^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE\perp AB$ 于点 $E$.
(1)求 $\angle EAD$ 的度数；
(2)若 $AB = 10$,$AC = 8$,$DE = 3$,求 $\triangle ABC$ 的面积.

(1)
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
(2)
过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DF = DE = 3$。
$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× DE=\frac{1}{2}×10×3 = 15$；
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× DF=\frac{1}{2}×8×3 = 12$。
所以$S_{\triangle ABC}=15 + 12=27$。
综上，(1)$\angle EAD$的度数为$30^{\circ}$；(2)$\triangle ABC$的面积为$27$。

当题目中出现角的平分线的条件时,一般是过角的平分线上一点作角的两边的垂线,再利用角的平分线的性质求解,而不必再证明两个三角形全等.

假设题目为：已知$OC$是$\angle AOB$的平分线，$P$是$OC$上一点，$PE\perp OA$于$E$，$PE = 4$，求$P$到$OB$的距离。
答题：
过点$P$作$PF\perp OB$于$F$。
因为$OC$是$\angle AOB$的平分线，$PE\perp OA$，$PF\perp OB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
所以$PF = PE=4$。
即$P$到$OB$的距离为$4$。

3. 如图所示,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$BC = 4$,$S_{\triangle BDC} = 2$,则 $AD$ 等于()

A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

D

过点D作DE⊥BC于E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴AD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵S△BDC=2，BC=4，
∴$\frac{1}{2} × BC × DE = 2$，即$\frac{1}{2} × 4 × DE = 2$，解得DE=1。
∴AD=DE=1。

4. 如图所示,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle BAC$ 的平分线 $AE$ 交 $BC$ 于点 $E$,$ED\perp AB$ 于点 $D$,若 $\triangle ABC$ 的周长为 $12$,$AC = 3$,则 $\triangle BDE$ 的周长为()

A.$9$
B.$8$
C.$7$
D.$6$

D

由题意，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3$，
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，$ED\perp AB$，$EC\perp AC$，
根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，可得$CE=DE$，
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle ADE$中，
$\begin{cases}\angle CAE=\angle DAE,\\\angle C=\angle ADE,\\AE=AE.\end{cases}$
根据$AAS$可得$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle ADE$，
所以$AD = AC = 3$，
已知$\triangle ABC$的周长为$12$，即$AB + BC + AC = 12$，
因为$AC = 3$，
所以$AB + BC=12 - 3 = 9$，
又因为$BC=BE + CE=BE + DE$，
$\triangle BDE$的周长为$BD + DE + BE$，
将$DE = CE$代入可得$\triangle BDE$的周长为$BD + BE + CE=BD + BC$，
而$BD=AB - AD=AB - 3$，
所以$\triangle BDE$的周长为$AB - 3+BC=9 - 3 = 6$。

5. 如图所示,在平面直角坐标系中,以 $O$ 为圆心,适当长为半径作弧,交 $x$ 轴于点 $M$,交 $y$ 轴于点 $N$,再分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧在第二象限交于点 $P$. 若点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$,则 $a$ 与 $b$ 的数量关系为.

$a=-b$

根据作图过程可知，$PM=PN$，
因为，以点$M$，$N$为圆心进行作弧，所以$OP$为$\angle MON$或其邻补角的角平分线，
又因为点$P$在第二象限，
所以$OP$为第二象限的角平分线，
根据第二象限内角平分线上两点坐标符号特征：横坐标是负数，纵坐标是正数，且横纵坐标绝对值相等，
所以，点$P(a,b)$的横坐标$a$与纵坐标$b$满足$a=-b$。

6. 如图所示,已知 $BD$ 为 $\angle ABC$ 的平分线,$AB = BC$,$PM\perp AD$ 于点 $M$,$PN\perp CD$ 于点 $N$.
求证：$PM = PN$.

证明：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，
∠ABD=∠CBD，
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。