【例1】 (2025·湛江)如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 60°,CD⊥AB,AB= 6,求AD的长。

4.5

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，则∠A=30°。
∵AB=6，∠A=30°，∴BC=AB/2=3。
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∠BCD=30°。
∵∠BCD=30°，BC=3，∴BD=BC/2=1.5。
∴AD=AB-BD=6-1.5=4.5。

1. 如图所示,BC= 10 cm,∠B= ∠BAC= 15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为()

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

C

在△ABC中，∠B=∠BAC=15°，故AC=BC=10cm（等角对等边）。∠ACB=180°-∠B-∠BAC=150°，则∠ACD=180°-∠ACB=30°（邻补角定义）。∵AD⊥BC，∴△ADC为直角三角形。在Rt△ADC中，∠ACD=30°，AC=10cm，∴AD=1/2AC=5cm（30°角所对直角边等于斜边一半）。

2. 如图所示,在Rt△ABC中,∠C= 90°,BC＜AC. 点D,E分别在边AB,BC上,连接DE,将△BDE沿DE折叠,点B的对应点为点B',若点B'刚好落在边AC上,∠CB'E= 30°,CE= 3,则BC的长为。

9

在Rt△ABC中，∠C=90°，将△BDE沿DE折叠，点B落在AC上的B'处，由折叠性质得BE=B'E。
∵∠C=90°，∠CB'E=30°，CE=3，
∴在Rt△CB'E中，∠CB'E=30°，其对边为CE，根据含30°角的直角三角形性质，CE=1/2 B'E，
∴B'E=2CE=2×3=6，
∴BE=B'E=6，
∵E在BC上，∴BC=BE+CE=6+3=9。

3. 如图所示,在△ABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,DE是AB的垂直平分线,垂足为E,DE交BC于点D,连接AD.
(1)求证：DC= DE；
(2)若CD= 3,求BD的长.

(1)证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=30°.
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=60°-30°=30°，即AD平分∠CAB.
∵DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE.
(2)解：∵CD=3，由(1)知DC=DE=3.
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∠C=90°，∴AD=2CD=6.
∵AD=BD，∴BD=6.

【例2】 某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱？

由题意，已知在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 150^{\circ}$，$AB = 20\ m$，$AC = 40\ m$。
根据三角形的面积公式，面积$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \ sin\angle BAC$。
代入已知数值，得：
$S = \frac{1}{2} × 20 × 40 × \ sin 150^{\circ}$
由于$\ sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$，
所以$S = \frac{1}{2} × 20 × 40 × \frac{1}{2} = 200（m^{2} ）$。
草皮每平方米$a$元，所以购买这种草皮一共需要$200a$元。
故购买这种草皮一共需要$200a元$。