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探究点1 单项式乘单项式
答案
假设题目为：计算$3a^{2}b\cdot 2ab^{3}$。
答题卡作答：
$3a^{2}b\cdot 2ab^{3}$
$=(3×2)×(a^{2}\cdot a)×(b\cdot b^{3})$
$ = 6a^{3}b^{4}$。
答题卡作答：
$3a^{2}b\cdot 2ab^{3}$
$=(3×2)×(a^{2}\cdot a)×(b\cdot b^{3})$
$ = 6a^{3}b^{4}$。
【例1】 计算：
(1)$-2x^{2}yz\cdot (-\frac {1}{6}xy^{2}z)\cdot 9xyz^{2}$；
(2)$9(xy)^{3}\cdot (-\frac {1}{3}x^{2}y)^{2}+(-x^{2}y)^{2}+(-x^{2}y)^{3}\cdot xy^{2}$。
(1)$-2x^{2}yz\cdot (-\frac {1}{6}xy^{2}z)\cdot 9xyz^{2}$；
(2)$9(xy)^{3}\cdot (-\frac {1}{3}x^{2}y)^{2}+(-x^{2}y)^{2}+(-x^{2}y)^{3}\cdot xy^{2}$。
答案
(1)原式$=[-2×(-\frac{1}{6})×9]\cdot(x^{2}\cdot x\cdot x)\cdot(y\cdot y^{2}\cdot y)\cdot(z\cdot z\cdot z^{2})$
$=3x^{4}y^{4}z^{4}$
(2)原式$=9x^{3}y^{3}\cdot(\frac{1}{9}x^{4}y^{2})+x^{4}y^{2}+(-x^{6}y^{3})\cdot xy^{2}$
$=(9×\frac{1}{9})x^{3+4}y^{3+2}+x^{4}y^{2}+(-1)x^{6+1}y^{3+2}$
$=x^{7}y^{5}+x^{4}y^{2}-x^{7}y^{5}$
$=x^{4}y^{2}$
$=3x^{4}y^{4}z^{4}$
(2)原式$=9x^{3}y^{3}\cdot(\frac{1}{9}x^{4}y^{2})+x^{4}y^{2}+(-x^{6}y^{3})\cdot xy^{2}$
$=(9×\frac{1}{9})x^{3+4}y^{3+2}+x^{4}y^{2}+(-1)x^{6+1}y^{3+2}$
$=x^{7}y^{5}+x^{4}y^{2}-x^{7}y^{5}$
$=x^{4}y^{2}$
1. 计算$6xy^{2}\cdot (-\frac {1}{2}x^{3}y^{3})$等于(
A.$3x^{4}y^{5}$
B.$-3x^{4}y^{5}$
C.$3x^{3}y^{6}$
D.$-3x^{3}y^{6}$
B
)A.$3x^{4}y^{5}$
B.$-3x^{4}y^{5}$
C.$3x^{3}y^{6}$
D.$-3x^{3}y^{6}$
答案
B
解析
根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，同底数的幂相乘，
$6xy^{2} \cdot (-\frac{1}{2}x^{3}y^{3})$
$= [6 × (-\frac{1}{2})] \cdot (x \cdot x^{3}) \cdot (y^{2} \cdot y^{3})$
$= -3 \cdot x^{1+3} \cdot y^{2+3}$
$= -3x^{4}y^{5}$
$6xy^{2} \cdot (-\frac{1}{2}x^{3}y^{3})$
$= [6 × (-\frac{1}{2})] \cdot (x \cdot x^{3}) \cdot (y^{2} \cdot y^{3})$
$= -3 \cdot x^{1+3} \cdot y^{2+3}$
$= -3x^{4}y^{5}$
2. 下列计算正确的是(
A.$3x^{3}\cdot (-2x^{2})= x^{5}$
B.$3y^{2}\cdot 4y^{2}= 12y^{2}$
C.$3a^{3}\cdot 8a^{3}= 24a^{9}$
D.$-3a\cdot 2ab= -6a^{2}b$
D
)A.$3x^{3}\cdot (-2x^{2})= x^{5}$
B.$3y^{2}\cdot 4y^{2}= 12y^{2}$
C.$3a^{3}\cdot 8a^{3}= 24a^{9}$
D.$-3a\cdot 2ab= -6a^{2}b$
答案
D
解析
A. $3x^{3}\cdot (-2x^{2})=3×(-2)x^{3+2}=-6x^{5}\neq x^{5}$，错误；
B. $3y^{2}\cdot 4y^{2}=3×4y^{2+2}=12y^{4}\neq12y^{2}$，错误；
C. $3a^{3}\cdot 8a^{3}=3×8a^{3+3}=24a^{6}\neq24a^{9}$，错误；
D. $-3a\cdot 2ab=-3×2a^{1+1}b=-6a^{2}b$，正确。
B. $3y^{2}\cdot 4y^{2}=3×4y^{2+2}=12y^{4}\neq12y^{2}$，错误；
C. $3a^{3}\cdot 8a^{3}=3×8a^{3+3}=24a^{6}\neq24a^{9}$，错误；
D. $-3a\cdot 2ab=-3×2a^{1+1}b=-6a^{2}b$，正确。
3. 计算：
(1)$3a^{2}\cdot 2a^{3}$；
(2)$\frac {1}{4}m\cdot 16mn^{2}$；
(3)$(-3a)\cdot 2ab$；
(4)$(-8ab)\cdot \frac {3}{4}a^{2}b$。
(1)$3a^{2}\cdot 2a^{3}$；
(2)$\frac {1}{4}m\cdot 16mn^{2}$；
(3)$(-3a)\cdot 2ab$；
(4)$(-8ab)\cdot \frac {3}{4}a^{2}b$。
答案
(1)
$3a^{2}\cdot 2a^{3}=(3×2)\cdot(a^{2}\cdot a^{3}) = 6a^{5}$
(2)
$\frac{1}{4}m\cdot16mn^{2}=(\frac{1}{4}×16)\cdot(m\cdot m)\cdot n^{2}=4m^{2}n^{2}$
(3)
$(-3a)\cdot2ab=(-3×2)\cdot(a\cdot a)\cdot b=-6a^{2}b$
(4)
$(-8ab)\cdot\frac{3}{4}a^{2}b=(-8×\frac{3}{4})\cdot(a\cdot a^{2})\cdot(b\cdot b)=-6a^{3}b^{2}$
$3a^{2}\cdot 2a^{3}=(3×2)\cdot(a^{2}\cdot a^{3}) = 6a^{5}$
(2)
$\frac{1}{4}m\cdot16mn^{2}=(\frac{1}{4}×16)\cdot(m\cdot m)\cdot n^{2}=4m^{2}n^{2}$
(3)
$(-3a)\cdot2ab=(-3×2)\cdot(a\cdot a)\cdot b=-6a^{2}b$
(4)
$(-8ab)\cdot\frac{3}{4}a^{2}b=(-8×\frac{3}{4})\cdot(a\cdot a^{2})\cdot(b\cdot b)=-6a^{3}b^{2}$
【例2】 若一个长方形的长为$6x^{2}y$,宽为$3xy$,则它的面积为(
A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$
B
)A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$
答案
B
解析
长方形的面积公式为长乘以宽，即 $6x^{2}y × 3xy$。
将系数相乘：$6 × 3 = 18$，
将 $x$ 的指数相加：$x^{2} \cdot x = x^{3}$，
将 $y$ 的指数相加：$y \cdot y = y^{2}$。
因此，结果为 $18x^{3}y^{2}$。
将系数相乘：$6 × 3 = 18$，
将 $x$ 的指数相加：$x^{2} \cdot x = x^{3}$，
将 $y$ 的指数相加：$y \cdot y = y^{2}$。
因此，结果为 $18x^{3}y^{2}$。
4. 若$x^{3}y^{n+1}\cdot x^{m+n}\cdot y^{2n+2}= x^{6}y^{6}$,则$m-n= $
1
。答案
1
解析
根据单项式乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
左边$x$的指数：$3 + (m + n) = m + n + 3$，$y$的指数：$(n + 1) + (2n + 2) = 3n + 3$。
因为左边等于右边$x^6y^6$，所以可得方程组：
$\begin{cases}m + n + 3 = 6 \\ 3n + 3 = 6\end{cases}$
解第二个方程：$3n = 3$，$n = 1$。
将$n = 1$代入第一个方程：$m + 1 + 3 = 6$，$m = 2$。
所以$m - n = 2 - 1 = 1$。
左边$x$的指数：$3 + (m + n) = m + n + 3$，$y$的指数：$(n + 1) + (2n + 2) = 3n + 3$。
因为左边等于右边$x^6y^6$，所以可得方程组：
$\begin{cases}m + n + 3 = 6 \\ 3n + 3 = 6\end{cases}$
解第二个方程：$3n = 3$，$n = 1$。
将$n = 1$代入第一个方程：$m + 1 + 3 = 6$，$m = 2$。
所以$m - n = 2 - 1 = 1$。
5. 已知$x$,$y满足|x-3|+(y+1)^{2}= 0$,试求式子$-2xy\cdot 5xy^{3}+\frac {1}{2}x^{2}y^{2}\cdot 2y^{2}+(2xy^{2})^{2}$的值。
答案
答题卡：
由 $|x - 3| + (y + 1)^{2} = 0$，
因为绝对值和平方数非负，所以要使两者和为0，则各自必须为0。
即：
$x - 3 = 0$
$y + 1 = 0$
解得：
$x = 3$
$y = -1$
原式：
$-2xy \cdot 5xy^{3} + \frac{1}{2}x^{2}y^{2} \cdot 2y^{2} + (2xy^{2})^{2}$
$= -10x^{2}y^{4} + x^{2}y^{4} + 4x^{2}y^{4}$
$= -5x^{2}y^{4}$
代入 $x = 3$， $y = -1$，得：
$-5 × 3^{2} × (-1)^{4}$
$= -5 × 9 × 1$
$= -45$
故原式的值为 $-45$。
由 $|x - 3| + (y + 1)^{2} = 0$，
因为绝对值和平方数非负，所以要使两者和为0，则各自必须为0。
即：
$x - 3 = 0$
$y + 1 = 0$
解得：
$x = 3$
$y = -1$
原式：
$-2xy \cdot 5xy^{3} + \frac{1}{2}x^{2}y^{2} \cdot 2y^{2} + (2xy^{2})^{2}$
$= -10x^{2}y^{4} + x^{2}y^{4} + 4x^{2}y^{4}$
$= -5x^{2}y^{4}$
代入 $x = 3$， $y = -1$，得：
$-5 × 3^{2} × (-1)^{4}$
$= -5 × 9 × 1$
$= -45$
故原式的值为 $-45$。
