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1. 若 $ a - b = \frac{1}{2} $,且 $ a^{2} + b^{2} = \frac{1}{2} $,则 $ (a + b)^{2} $ 的值为 (
A.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.1
D.$ \frac{3}{4} $
D
)A.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.1
D.$ \frac{3}{4} $
答案
D
解析
根据完全平方公式，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
由题意知$a - b = \frac{1}{2}$，所以$(\frac{1}{2})^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
即$\frac{1}{4} = a^2 + b^2 - 2ab$，
又因为$a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$，代入上式得：
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - 2ab$，
解得：$ab = \frac{1}{8}$，
再根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
代入$a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$和$ab = \frac{1}{8}$，得：
$(a + b)^2 = \frac{1}{2} + 2 × \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
由题意知$a - b = \frac{1}{2}$，所以$(\frac{1}{2})^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
即$\frac{1}{4} = a^2 + b^2 - 2ab$，
又因为$a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$，代入上式得：
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - 2ab$，
解得：$ab = \frac{1}{8}$，
再根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
代入$a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$和$ab = \frac{1}{8}$，得：
$(a + b)^2 = \frac{1}{2} + 2 × \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
2. 若 $ a - b = 1 $,$ ab = 2 $,则 $ (a + b)^{2} $ 的值为 (
A.-9
B.9
C.±9
D.3
B
)A.-9
B.9
C.±9
D.3
答案
B
解析
已知 $a - b = 1$，$ab = 2$，
根据完全平方公式，$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$，
代入已知条件：
$(a + b)^2 = 1^2 + 4 × 2 = 1 + 8 = 9$。
根据完全平方公式，$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$，
代入已知条件：
$(a + b)^2 = 1^2 + 4 × 2 = 1 + 8 = 9$。
3. 若 $ a + b = 3 $,$ a^{2} + b^{2} = 7 $,则 $ ab $ 等于 (
A.2
B.1
C.-2
D.-1
B
)A.2
B.1
C.-2
D.-1
答案
B
解析
根据完全平方公式，有$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$。
已知$a+b=3$，$a^{2}+b^{2}=7$，将$a+b=3$两边平方可得$(a+b)^{2}=3^{2}=9$，即$a^{2}+2ab+b^{2}=9$。
把$a^{2}+b^{2}=7$代入$a^{2}+2ab+b^{2}=9$中，得到$7 + 2ab=9$，移项可得$2ab=9 - 7=2$，则$ab = 1$。
已知$a+b=3$，$a^{2}+b^{2}=7$，将$a+b=3$两边平方可得$(a+b)^{2}=3^{2}=9$，即$a^{2}+2ab+b^{2}=9$。
把$a^{2}+b^{2}=7$代入$a^{2}+2ab+b^{2}=9$中，得到$7 + 2ab=9$，移项可得$2ab=9 - 7=2$，则$ab = 1$。
4. (1)已知 $ ab = 4 $,$ a - b = 3 $,则 $ a + b = $
(2)$ a + \frac{1}{a} = 6 $,则 $ \frac{a^{4} + a^{2} + 1}{a^{2}} = $
(3)已知 $ (200 + a)(198 + a) = 199 $,则 $ (200 + a)^{2} + (198 + a)^{2} = $
(4)已知 $ x $ 满足 $ (x - 2022)^{2} + (2024 - x)^{2} = 12 $,则 $ (x - 2023)^{2} $ 的值为
±5
；(2)$ a + \frac{1}{a} = 6 $,则 $ \frac{a^{4} + a^{2} + 1}{a^{2}} = $
35
；(3)已知 $ (200 + a)(198 + a) = 199 $,则 $ (200 + a)^{2} + (198 + a)^{2} = $
402
；(4)已知 $ x $ 满足 $ (x - 2022)^{2} + (2024 - x)^{2} = 12 $,则 $ (x - 2023)^{2} $ 的值为
5
.答案
±5；35；402；5
解析
(1)∵(a+b)²=(a-b)²+4ab，ab=4，a-b=3，∴(a+b)²=3²+4×4=9+16=25，∴a+b=±5；
(2)∵a+1/a=6，∴(a+1/a)²=a²+2+1/a²=36，∴a²+1/a²=34，∴(a⁴+a²+1)/a²=a²+1+1/a²=34+1=35；
(3)设x=200+a，y=198+a，则xy=199，x-y=2，∴x²+y²=(x-y)²+2xy=2²+2×199=4+398=402；
(4)设t=x-2023，则x-2022=t+1，2024-x=1-t，∴(t+1)²+(1-t)²=12，即t²+2t+1+t²-2t+1=12，2t²+2=12，t²=5，即(x-2023)²=5。
(2)∵a+1/a=6，∴(a+1/a)²=a²+2+1/a²=36，∴a²+1/a²=34，∴(a⁴+a²+1)/a²=a²+1+1/a²=34+1=35；
(3)设x=200+a，y=198+a，则xy=199，x-y=2，∴x²+y²=(x-y)²+2xy=2²+2×199=4+398=402；
(4)设t=x-2023，则x-2022=t+1，2024-x=1-t，∴(t+1)²+(1-t)²=12，即t²+2t+1+t²-2t+1=12，2t²+2=12，t²=5，即(x-2023)²=5。
5. 已知 $ a + b = 3 $,$ ab = -12 $,求下列各式的值：
(1)$ a^{2} + b^{2} $；(2)$ a^{2} - ab + b^{2} $；
(3)$ (a - b)^{2} $；(4)$ a - b $.
(1)$ a^{2} + b^{2} $；(2)$ a^{2} - ab + b^{2} $；
(3)$ (a - b)^{2} $；(4)$ a - b $.
答案
(1)
由完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^2-2ab$。
已知$a + b = 3$，$ab=-12$，将其代入上式可得：
$a^{2}+b^{2}=3^{2}-2×(-12)=9 + 24=33$。
(2)
由(1)知$a^{2}+b^{2}=33$，又已知$ab = - 12$，将其代入$a^{2}-ab + b^{2}$可得：
$a^{2}-ab + b^{2}=a^{2}+b^{2}-ab=33-(-12)=33 + 12=45$。
(3)
由完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，结合(1)中$a^{2}+b^{2}=33$，可得：
$(a - b)^2=a^{2}+b^{2}-2ab=33-2×(-12)=33 + 24=57$。
(4)
由(3)知$(a - b)^2 = 57$，则$a - b=\pm\sqrt{57}$。
由完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^2-2ab$。
已知$a + b = 3$，$ab=-12$，将其代入上式可得：
$a^{2}+b^{2}=3^{2}-2×(-12)=9 + 24=33$。
(2)
由(1)知$a^{2}+b^{2}=33$，又已知$ab = - 12$，将其代入$a^{2}-ab + b^{2}$可得：
$a^{2}-ab + b^{2}=a^{2}+b^{2}-ab=33-(-12)=33 + 12=45$。
(3)
由完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，结合(1)中$a^{2}+b^{2}=33$，可得：
$(a - b)^2=a^{2}+b^{2}-2ab=33-2×(-12)=33 + 24=57$。
(4)
由(3)知$(a - b)^2 = 57$，则$a - b=\pm\sqrt{57}$。
6. [问题探究]如图①所示是一个长为 $ 2m $,宽为 $ 2n $ 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成正方形 $ ABCD $.
(1)观察图②,试猜想式子 $ (m + n)^{2} $,$ (m - n)^{2} $,$ mn $ 之间的数量关系,并证明你的结论；
(2)根据(1)中的数量关系,解决下列问题：
①已知 $ a ＞ 0 $,$ a - \frac{2}{a} = 1 $,求 $ a + \frac{2}{a} $ 的值；
②若长方形的周长为 14,一组邻边的长 $ x $,$ y $ 满足 $ (x - y)^{2} - 1 = 0 $,求这个长方形的面积.
(1)观察图②,试猜想式子 $ (m + n)^{2} $,$ (m - n)^{2} $,$ mn $ 之间的数量关系,并证明你的结论；
(2)根据(1)中的数量关系,解决下列问题：
①已知 $ a ＞ 0 $,$ a - \frac{2}{a} = 1 $,求 $ a + \frac{2}{a} $ 的值；
②若长方形的周长为 14,一组邻边的长 $ x $,$ y $ 满足 $ (x - y)^{2} - 1 = 0 $,求这个长方形的面积.
答案
(1)
关系：$(m + n)^{2}-(m - n)^{2}=4mn$
证明：
$(m + n)^{2}-(m - n)^{2}=(m + n + m - n)[m + n-(m - n)]=(2m)(2n)=4mn$
(2)
①
由(1)可知$(a+\frac{2}{a})^{2}=(a - \frac{2}{a})^{2}+4× a×\frac{2}{a}$
已知$a - \frac{2}{a}=1$，则$(a+\frac{2}{a})^{2}=1 + 8=9$
因为$a\gt0$，所以$a+\frac{2}{a}=3$
②
因为长方形周长为$14$，所以$2(x + y)=14$，即$x + y = 7$
又因为$(x - y)^{2}-1 = 0$，所以$(x - y)^{2}=1$
由(1)知$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}=4xy$
把$x + y = 7$，$(x - y)^{2}=1$代入可得$49 - 1=4xy$
则$xy = 12$，即长方形的面积为$12$
关系：$(m + n)^{2}-(m - n)^{2}=4mn$
证明：
$(m + n)^{2}-(m - n)^{2}=(m + n + m - n)[m + n-(m - n)]=(2m)(2n)=4mn$
(2)
①
由(1)可知$(a+\frac{2}{a})^{2}=(a - \frac{2}{a})^{2}+4× a×\frac{2}{a}$
已知$a - \frac{2}{a}=1$，则$(a+\frac{2}{a})^{2}=1 + 8=9$
因为$a\gt0$，所以$a+\frac{2}{a}=3$
②
因为长方形周长为$14$，所以$2(x + y)=14$，即$x + y = 7$
又因为$(x - y)^{2}-1 = 0$，所以$(x - y)^{2}=1$
由(1)知$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}=4xy$
把$x + y = 7$，$(x - y)^{2}=1$代入可得$49 - 1=4xy$
则$xy = 12$，即长方形的面积为$12$
