在学完最简分式概念后,老师在黑板上写了四个整式：$6$,$x+1$,$x^{2}-1$,$x-1$,要求同学们从中任意选两个整式组成分式,其中能组成的最简分式有个.

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要组成分式，分母需含字母，只能为$x+1$、$x^2 - 1$、$x - 1$，分子为剩余整式。
分母为$x+1$：分式有$\frac{6}{x+1}$（最简）、$\frac{x^2 - 1}{x+1}=x - 1$（非最简）、$\frac{x - 1}{x+1}$（最简），得2个最简分式；
分母为$x^2 - 1$：分式有$\frac{6}{x^2 - 1}$（最简）、$\frac{x+1}{x^2 - 1}=\frac{1}{x - 1}$（非最简）、$\frac{x - 1}{x^2 - 1}=\frac{1}{x+1}$（非最简），得1个最简分式；
分母为$x - 1$：分式有$\frac{6}{x - 1}$（最简）、$\frac{x+1}{x - 1}$（最简）、$\frac{x^2 - 1}{x - 1}=x + 1$（非最简），得2个最简分式。
综上，最简分式共$2 + 1 + 2 = 5$个。

1. 约分：(1)$\dfrac{-16b^{2}y^{2}}{20ay^{3}}=$；
(2)$\dfrac{1-4a^{2}}{2a+1}=$.

(1) $- \dfrac{4b^{2}}{5ay}$；(2) $1 - 2a$。

(1) 对于 $\dfrac{-16b^{2}y^{2}}{20ay^{3}}$，首先找到分子和分母的公因式。这里，公因式是 $4y^{2}$。然后，将分子和分母都除以这个公因式：
$\dfrac{-16b^{2}y^{2}}{20ay^{3}} = \dfrac{-16b^{2}y^{2} ÷ 4y^{2}}{20ay^{3} ÷ 4y^{2}} = \dfrac{-4b^{2}}{5ay}$，
(2) 对于 $\dfrac{1-4a^{2}}{2a+1}$，首先对分子进行因式分解，$1 - 4a^{2} = (1 - 2a)(1 + 2a)$。
然后，寻找公因式。在这里，公因式是 $1 + 2a$ 和 $2a+1$（即相同，只是表达形式不同）。
进行约分：
$\dfrac{1-4a^{2}}{2a+1} = \dfrac{(1 - 2a)(1 + 2a)}{2a + 1} = \dfrac{(1 - 2a)(1 + 2a)}{1 + 2a} = 1 - 2a$，

2. (1)分式$\dfrac{3a^{3}b}{45a^{2}b^{3}}$的分子和分母的公因式是；
(2)分式$\dfrac{x}{2x^{2}-4x+2}与\dfrac{x-1}{4-4x}$的最简公分母为.

(1)$3a^{2}b$；(2)$4(x - 1)^{2}$

(1)对于分式$\dfrac{3a^{3}b}{45a^{2}b^{3}}$，系数的最大公约数是3，相同字母$a$的最低次幂是$a^{2}$，相同字母$b$的最低次幂是$b$，所以公因式是$3a^{2}b$；(2)先对分母因式分解，$2x^{2}-4x+2=2(x-1)^{2}$，$4-4x=-4(x - 1)$，取各分母系数的最小公倍数4，相同因式$(x - 1)$的最高次幂$(x - 1)^{2}$，所以最简公分母是$4(x - 1)^{2}$

3. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中,是“和谐分式”的是.(填序号)
①$\dfrac{x-1}{x^{2}+1}$；②$\dfrac{a-2b}{a^{2}-b^{2}}$；③$\dfrac{x+y}{x^{2}-y^{2}}$；④$\dfrac{a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{2}}$

②

①. 对于分式 $\dfrac{x-1}{x^{2}+1}$，分子 $x-1$ 不可因式分解，分母 $x^{2}+1$ 也不可因式分解，且分子与分母无公因式，所以它是最简分式，但不满足分子或分母可以因式分解的条件，故不是“和谐分式”。
②. 对于分式 $\dfrac{a-2b}{a^{2}-b^{2}}$，分母 $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ 可以因式分解，且分子与分母无公因式，所以它是最简分式且满足条件，是“和谐分式”。
③. 对于分式 $\dfrac{x+y}{x^{2}-y^{2}}$，分母 $x^{2}-y^{2} = (x+y)(x-y)$ 可以因式分解，但分子与分母有公因式 $x+y$（在分母中以因式形式出现，可与分子约分，但题目要求是最简分式），所以它不是最简分式，不满足条件，不是“和谐分式”。
④. 对于分式 $\dfrac{a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{2}}$，分子 $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ 可以因式分解，但分子与分母有公因式 $a+b$，所以它不是最简分式，不满足条件，不是“和谐分式”。
综上所述，只有②是“和谐分式”。

4. 若$\dfrac{\vert a\vert}{a-a^{2}}= \dfrac{1}{a-1}$,则$a$的取值范围是()
A.$a＞0且a\neq 1$
B.$a\leqslant 0$
C.$a\neq 0且a\neq 1$
D.$a＜0$

D

首先，根据题目给出的等式$\dfrac{|a|}{a - a^{2}} = \dfrac{1}{a - 1}$，对等式右边$\dfrac{1}{a - 1}$进行变形，给其分子分母同时乘以$-1$，可得$\dfrac{1}{a - 1}=-\dfrac{1}{1 - a}$。
此时原等式可化为$\dfrac{|a|}{a(1 - a)} = -\dfrac{1}{1 - a}$。
因为分式分母不能为$0$，所以$a\neq 0$且$a\neq 1$。
等式两边同时乘以$1 - a$（$a\neq 1$），得到$\dfrac{|a|}{a}=- 1$。
即$|a|=-a$，根据绝对值的性质，当$a\leqslant 0$时，$|a| = -a$。
结合$a\neq 0$且$a\neq 1$，所以$a\lt 0$。

5. 在分式$\dfrac{4y+3x}{4a}$,$\dfrac{x^{2}-1}{x^{4}-1}$,$\dfrac{x^{2}-xy+y^{2}}{x+y}$,$\dfrac{a^{2}+2ab}{ab-2b^{2}}$中,是最简分式的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

1. $\dfrac{4y+3x}{4a}$：分子$4y+3x$与分母$4a$没有公因式，是最简分式。
2. $\dfrac{x^{2}-1}{x^{4}-1}$：分母$x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)$，分子分母有公因式$x^{2}-1$，不是最简分式。
3. $\dfrac{x^{2}-xy+y^{2}}{x+y}$：分子$x^{2}-xy+y^{2}$在实数范围内不能分解因式，与分母$x+y$没有公因式，是最简分式。
4. $\dfrac{a^{2}+2ab}{ab-2b^{2}}$：分子$a(a+2b)$，分母$b(a-2b)$，分子分母没有公因式，是最简分式。
综上，最简分式有3个。

6. 在$\dfrac{1}{x-2}$,$\dfrac{1}{(x-2)(x+3)}$,$\dfrac{2}{(x+3)^{2}}$通分的过程中,不正确的是()
A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^{2}$
B.$\dfrac{1}{x-2}= \dfrac{(x+3)^{2}}{(x-2)(x+3)^{2}}$
C.$\dfrac{1}{(x-2)(x+3)}= \dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)^{2}}$
D.$\dfrac{2}{(x+3)^{2}}= \dfrac{2x-2}{(x-2)(x+3)^{2}}$

D

选项A，确定最简公分母，各分母因式为$x - 2$、$(x - 2)(x + 3)$、$(x + 3)^2$，取各因式最高次幂，最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^2$，正确；
选项B，$\dfrac{1}{x - 2}$通分，分子分母同乘$(x + 3)^2$，得$\dfrac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 3)^2}$，正确；
选项C，$\dfrac{1}{(x - 2)(x + 3)}$通分，分子分母同乘$(x + 3)$，得$\dfrac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^2}$，正确；
选项D，$\dfrac{2}{(x + 3)^2}$通分，分子分母应同乘$(x - 2)$，得$\dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)^2} = \dfrac{2x - 4}{(x - 2)(x + 3)^2}$，原选项分子为$2x - 2$，错误。