【例题】设方程 $2x^{2}+3x-1= 0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$,不解方程求下列各式的值:
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$;
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$;
(3)$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$.
【思路点拨】将所求式转化为含$x_{1}+x_{2}$,$x_{1}x_{2}$ 的形式,然后整体代入即可求值.
【解答】
【学法点睛】不解方程,利用根与系数的关系求一元二次方程的某些代数式的值,关键是把所给的代数式经过恒等变形,化为含有两根和与两根积的形式,然后把$x_{1}+x_{2}与x_{1}x_{2}$ 的值整体代入,即可得到所需结果.

(1) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
对于方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$，其中 $a = 2$，$b = 3$，$c = -1$。
根据根与系数的关系 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
则 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$。
(2) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}$
把 $x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$ 代入得：
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3$。
(3) $(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3x_{1}-3x_{2}+9=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9$
把 $x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$ 代入得：
$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=-\frac{1}{2}-3×(-\frac{3}{2})+9=-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}+9 = 4 + 9 = 13$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{13}{4}$；(2)$3$；(3)$13$。

1. 设一元二次方程$7x^{2}-\sqrt{6}x-5= 0$ 的两个根分别是$x_{1},x_{2}$,则下列等式正确的是 ()
A.$x_{1}+x_{2}= \frac{\sqrt{6}}{7}$
B.$x_{1}+x_{2}= -\frac{\sqrt{6}}{7}$
C.$x_{1}x_{2}= \frac{5}{7}$
D.$x_{1}x_{2}= -\frac{6}{7}$

A

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$，其两个根$x_{1},x_{2}$满足：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$7x^{2}-\sqrt{6}x-5= 0$，其中$a=7$，$b=-\sqrt{6}$，$c=-5$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1}+x_{2}=-\frac{-\sqrt{6}}{7}=\frac{\sqrt{6}}{7}$，
$x_{1}x_{2}=\frac{-5}{7}=-\frac{5}{7}$。
对比选项，只有A选项$x_{1}+x_{2}= \frac{\sqrt{6}}{7}$符合上述计算结果。

2. 如果$x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程$x^{2}-6x-2= 0$的两个实数根,那么$x_{1}+x_{2}$的值是()
A.-6
B.-2
C.6
D.2

C

根据一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），对于方程$ax^2 + bx + c = 0$，若$x_1$和$x_2$是方程的两个实数根，则有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。在方程$x^2 - 6x - 2 = 0$中，$a = 1$，$b = -6$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$。

3. 若$x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程$2x^{2}+x-1= 0$的两根,则$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值为()
A.-1
B.0
C.1
D.2

由一元二次方程根与系数的关系，对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$；
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$；
对于给定的方程 $2x^{2} + x - 1 = 0$，可以得到：
$a = 2, b = 1, c = -1$；
所以：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{1}{2}$；
$x_{1}x_{2} = -\frac{1}{2}$；
接下来，我们要求 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$，根据分数的加法运算法则，我们有：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$；
将上面得到的 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的值代入上式，得到：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$；
故答案为：C. $1$。

4. 若$x_{1}$ 和$x_{2}$ 是方程$x^{2}-x-1= 0$ 的两个根,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值是()
A.$\sqrt{3}$
B.-3
C.3
D.-1

C

根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程$x^{2}-x-1=0$，其两个根$x_{1}$和$x_{2}$满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 1$
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -1$
其中，$a=1$，$b=-1$，$c=-1$是方程的系数。
接下来，我们要求$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$，根据平方和公式，我们有：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1} \cdot x_{2}$
将$x_{1} + x_{2} = 1$和$x_{1} \cdot x_{2} = -1$代入上式，得到：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1^{2} - 2 × (-1) = 1 + 2 = 3$

5. 设一元二次方程$x^{2}-6x+4= 0$ 的两个实数根分别为$x_{1}$ 和$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $, $x_{1}x_{2}= $.

6；4

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-6x + 4 = 0$中，$a = 1$，$b=-6$，$c = 4$。
所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-6}{1}=6$，$x_{1}x_{2}=\frac{4}{1}=4$。

6. 关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$ 的两个实数根分别为3和5,则$b=$, $c=$.

答题卡：
6.
解：
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
根的和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{1} = -b$
根的积：$x_1 × x_2 = c$
代入给定的根$x_1 = 3$和$x_2 = 5$，我们得到：
$3 + 5 = -b \Rightarrow b = -8$
$3 × 5 = c \Rightarrow c = 15$
故答案为：$b = -8$；$c = 15$。

7. 已知$2-\sqrt{5}$是一元二次方程$x^{2}-4x+c= 0$的一个根,则方程的另一个根是.

$2 + \sqrt{5}$

设方程的另一个根为 $x_1$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + (2-\sqrt{5}) = 4$
这是因为对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
在本题中，$a = 1, b = -4$，所以 $x_1 + (2-\sqrt{5}) = 4$。
解这个方程，我们得到：
$x_1 = 4 - (2-\sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5}$

8. 已知$x_{1},x_{2}$ 是方程$x^{2}+6x+3= 0$ 的两个实数根,则$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值为.

10

根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若 $x_1$ 和 $x_2$ 是其两个实数根，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
对于方程 $x^2 + 6x + 3 = 0$，有 $a = 1, b = 6, c = 3$，所以：
$x_1 + x_2 = -6$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
接下来，我们要求 $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$ 的值。
根据平方差公式，我们有：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 \cdot x_2}$
又因为：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$
代入 $x_1 + x_2 = -6$ 和 $x_1 \cdot x_2 = 3$，得：
$x_1^2 + x_2^2 = (-6)^2 - 2 × 3 = 36 - 6 = 30$
所以：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{30}{3} = 10$