1. 如图,已知$AB// CD$,$AD与BC相交于点P$,$AB = 3$,$CD = 8$,$AD = 11$.则$AP$的长等于()

A.3
B.4
C.5
D.6

由于$AB// CD$，根据相似三角形的性质，有$\triangle ABP\sim\triangle DCP$。
根据相似三角形的边长比例关系，得到：
$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{CD}$。
代入已知数据：
$\frac{AP}{PD}=\frac{3}{8}$。
设$AP=x$，则$PD=11-x$。
代入比例关系式：
$\frac{x}{11-x}=\frac{3}{8}$。
交叉相乘得到：
$8x=3(11-x)$。
展开并整理方程：
$8x=33-3x$。
$11x=33$。
$x=3$。
由于$x$是$AP$的长度，
所以，$AP=3$。
故答案为A。

2. 如图,若$A,B,C,P,Q$,甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使$\triangle PQR\sim\triangle ABC$,则点$R$应是甲、乙、丙、丁四点中的()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

B

步骤1：计算△ABC的三边长
设方格边长为1，由格点位置得：
AB：横向2格，长度$AB=2$；
AC：横向1格、纵向2格，由勾股定理得$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
BC：横向1格、纵向2格，同理$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
故△ABC三边比为$AB:AC:BC=2:\sqrt{5}:\sqrt{5}$。
步骤2：确定PQ长度及对应关系
由格点位置知，P、Q为格点，PQ长度为2（与AB对应）。要使△PQR∽△ABC，则△PQR三边比也应为$2:\sqrt{5}:\sqrt{5}$，即PR=QR=$\sqrt{5}$。
步骤3：验证R点位置
$\sqrt{5}$对应横向1格、纵向2格的斜边。PQ=2（纵向），则R需满足：
距P横向1格、纵向2格；
距Q横向1格、纵向2格。
经格点验证，乙点满足PR=QR=$\sqrt{5}$，PQ=2，三边比与△ABC一致。

3. 在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形图案的一条边由原来的$1\ cm变成2\ cm$,那么这次复印出来的多边形图案的面积是原来的()
A.1倍
B.2倍
C.3倍
D.4倍

D

由题意可知，多边形的一条边由$1\ cm$变成$2\ cm$，这意味着复印前后的多边形是相似的，且相似比为$1:2$。
根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方。
设原多边形的面积为$S_1$，复印后的多边形的面积为$S_2$，则有：
$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4$，
因此，复印出来的多边形图案的面积是原来的4倍。

4. 已知$\triangle ABC\sim\triangle DEF$,$AB:DE = 1:2$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$的周长比等于()
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$2:1$
D.$4:1$

答题卡：
解：∵$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，且$AB:DE = 1:2$，
根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比，
∴$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长比等于$1:2$．
故选A．

5. 如图,$D是\triangle ABC的AB$边上的一点,过点$D作DE// BC交AC于E$,$AD:DB = 1:2$,则$BC:DE$等于()
A.$1:3$
B.$2:3$
C.$3:1$
D.$2:1$

$\because AD:DB = 1:2$，
$\therefore AD:AB = 1:(1 + 2)=1:3$。
$\because DE// BC$，
$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
$\therefore\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
$\therefore BC:DE = 3:1$。
答案选 C。

6. 张华同学的身高为$1.6\ m$,某一时刻他在阳光下的影长为$2\ m$,与他邻近的一棵树的影长为$6\ m$,则这棵树的高为()
A.$3.2\ m$
B.$4.8\ m$
C.$5.2\ m$
D.$5.6\ m$

B

设这棵树的高度为 $ h $ 米。
根据相似三角形的性质，同一时刻物体的高度和影长成正比例关系。
因此，有：
$\frac{张华的身高}{张华的影长} = \frac{树的高度}{树的影长}$，
即：
$\frac{1.6}{2} = \frac{h}{6}$，
解这个方程，得到：
$h = \frac{1.6 × 6}{2} = 4.8$，
所以，这棵树的高度是 $ 4.8 $ 米。

7. 如图,$\triangle ABC与\triangle DEF$是位似图形,位似比为$2:3$,已知$AB = 4$,则$DE$的长等于()
A.6
B.5
C.9
D.$\frac{8}{3}$

A

由题意，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是位似图形，位似比为$2:3$。
已知$AB=4$，根据位似比，$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$。
将$AB=4$代入，得到$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}$。
通过交叉相乘，得到$4×3=2× DE$。
解得$DE=6$。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$P为AB$上一点,下列四个条件:①$\angle ACP= \angle B$;②$\angle APC= \angle ACB$;③$AC^{2}= AP\cdot AB$;④$AB\cdot CP = AP\cdot CB$.其中能满足$\triangle APC和\triangle ACB$相似的条件是()

A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③

① 当$\angle ACP = \angle B$，
在$\triangle APC$和$\triangle ACB$中，
$\angle CAP = \angle BAC$，
$\angle ACP = \angle B$，
满足两角对应相等，两三角形相似，
所以$\triangle APC \sim \triangle ACB$。
② 当$\angle APC = \angle ACB$，
在$\triangle APC$和$\triangle ACB$中，
$\angle CAP = \angle BAC$，
$\angle APC = \angle ACB$，
满足两角对应相等，两三角形相似，
所以$\triangle APC \sim \triangle ACB$。
③ 当$AC^{2} = AP\cdot AB$，
可得$\frac{AP}{AC} = \frac{AC}{AB}$，
在$\triangle APC$和$\triangle ACB$中，
$\angle CAP = \angle BAC$，
$\frac{AP}{AC} = \frac{AC}{AB}$，
满足两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，
所以$\triangle APC \sim \triangle ACB$。
④ 当$AB\cdot CP = AP\cdot CB$，
即$\frac{AP}{CP} = \frac{AB}{CB}$，
$\angle A$和$\angle B$不是对应边的夹角，
所以$\triangle APC$和$\triangle ACB$不相似。
综上，能满足$\triangle APC$和$\triangle ACB$相似的条件是①②③。
答案选D。

9. 如图,在梯形$ABCD$中,$AB// CD$,对角线$AC$,$BD相交于O$,有下列四个结论:①$\triangle AOB\sim\triangle COD$;②$S_{\triangle ACD}= S_{\triangle BDC}$;③$S_{\triangle DOC}:S_{\triangle BOA}= DC:AB$;④$S_{\triangle AOD}= S_{\triangle BOC}$.其中结论正确的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

①因为$AB// CD$，根据两直线平行内错角相等，所以$\angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$，两角对应相等的两个三角形相似，所以$\triangle AOB\sim\triangle COD$，故①正确。
②因为$AB// CD$，所以梯形$ABCD$中$AB$，$CD$为上下底，$\triangle ACD$与$\triangle BDC$都以$CD$为底，高都为$AB$与$CD$之间的距离，等底等高的三角形面积相等，所以$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BDC}$，故②正确。
③因为$\triangle AOB\sim\triangle COD$，相似三角形面积比等于相似比的平方，相似比为$DC:AB$，所以$S_{\triangle DOC}:S_{\triangle BOA}=(DC:AB)^2$，故③错误。
④因为$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BDC}$，且$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle DOC}$，$S_{\triangle BDC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle DOC}$，等量代换可得$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOC}$，故④正确。
综上①②④正确，共$3$个。