【例题】用因式分解法解下列方程：
(1)$3(2x-5)^{2}= 4(5-2x);$
(2)$(3x-4)^{2}= (4x-3)^{2};$
(3)$9(2x+3)^{2}= 25(1-3x)^{2}.$
【思路点拨】因式分解的方法有:提公因式法、公式法.应灵活选用因式分解法求解方程.
【解答】______

(1) $x_{1} = \frac{5}{2}$，$x_{2} = \frac{11}{6}$
(2) $x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$
(3) $x_{1} = \frac{14}{9}$，$x_{2} = -\frac{4}{21}$

(1) 解：
原方程 $3(2x-5)^{2} = 4(5-2x)$ 可以移项得 $3(2x-5)^{2} - 4(5-2x) = 0$，
进一步变形得 $3(2x-5)^{2} + 4(2x-5) = 0$，
提取公因式 $(2x-5)$ 得 $(2x-5)(6x-15+4) = 0$，
即 $(2x-5)(6x-11) = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{5}{2}$，$x_{2} = \frac{11}{6}$。
(2) 解：
原方程 $(3x-4)^{2} = (4x-3)^{2}$ 可以移项得 $(3x-4)^{2} - (4x-3)^{2} = 0$，
应用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 得 $(3x-4+4x-3)(3x-4-4x+3) = 0$，
即 $(7x-7)(-x-1) = 0$，
解得 $x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$。
(3) 解：
原方程 $9(2x+3)^{2} = 25(1-3x)^{2}$ 可以移项得 $9(2x+3)^{2} - 25(1-3x)^{2} = 0$，
应用平方差公式得 $[3(2x+3)+5(1-3x)][3(2x+3)-5(1-3x)] = 0$，
即 $(6x+9+5-15x)(6x+9-5+15x) = 0$，
化简得 $(-9x+14)(21x+4) = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{14}{9}$，$x_{2} = -\frac{4}{21}$。

1.解方程$3(7x+5)^{2}= 8(7x+5)$的最佳方法是 ()
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法

B

首先观察方程$3(7x+5)^{2}= 8(7x+5)$，发现左边和右边都含有公因式$(7x+5)$。
因此，可以通过移项，使方程变为等于0的形式，即$3(7x+5)^{2} - 8(7x+5) = 0$。
然后，可以提取公因式$(7x+5)$进行因式分解，得到$(7x+5)[3(7x+5) - 8] = 0$。
由此，可以看出最佳方法是因式分解法。

2.方程$(x-3)(x+2)= 1$的解为 ()
A.$x= 3$
B.$x= -2$
C.$x_{1}= 3,x_{2}= -2$
D.以上都不对

首先将原方程$(x-3)(x+2)=1$展开并整理：
$x^2 - x - 6 = 1$，
$x^2 - x - 7 = 0$，
这是一个一元二次方程，其一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a = 1, b = -1, c = -7$。
接下来，计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 × 1 × (-7) = 1 + 28 = 29$，
由于$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实根。
使用求根公式求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$，
因此，方程的解为：
$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \quad x_{2} = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$，
经过检验，发现选项A，B，C给出的解均不正确。
故正确答案为D。

3.方程$2x(x-3)= 5(x-3)$的根是 ()
A.$x= \frac {5}{2}$
B.$x= 3$
C.$x_{1}= 3,x_{2}= \frac {5}{2}$
D.$x= -\frac {5}{2}$

C

首先，将方程 $2x(x-3) = 5(x-3)$ 改写为 $2x(x-3) - 5(x-3) = 0$。
接着，对方程进行因式分解，得到 $(x-3)(2x-5) = 0$。
解方程 $(x-3)(2x-5) = 0$，得到 $x-3 = 0$ 或 $2x-5 = 0$。
解得 $x_{1} = 3$，$x_{2} = \frac{5}{2}$。

4.已知实数x满足$4x^{2}-4x+1= 0$,则代数式$2x+\frac {1}{2x}$的值为.

1. 首先对$4x^{2}-4x + 1 = 0$进行变形：
由$4x^{2}-4x + 1 = 0$，因为$x\neq0$（若$x = 0$，代入方程$4x^{2}-4x + 1=1\neq0$），方程两边同时除以$2x$得$2x-2+\frac{1}{2x}=0$。
2. 然后求解$2x+\frac{1}{2x}$的值：
对$2x-2+\frac{1}{2x}=0$进行移项，可得$2x+\frac{1}{2x}=2$。
故答案为$2$。

首先，我们观察方程$4x^{2} - 4x + 1 = 0$，
这是一个完全平方的形式，可以写作$(2x - 1)^{2} = 0$，
解得$x = \frac{1}{2}$。
然后，我们将$x = \frac{1}{2}$代入代数式$2x + \frac{1}{2x}$中，
得到$2x + \frac{1}{2x} = 2 × \frac{1}{2} + \frac{1}{2 × \frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2$。
但是，我们需要注意到原方程有两个相同的解，即$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$，
由于代数式$2x + \frac{1}{2x}$在$x \neq 0$的范围内是确定的，
所以不需要考虑其他解的情况。
因此，代数式$2x + \frac{1}{2x}$的值为$2$。

5.等腰三角形的底和腰是方程$x^{2}-8x+15= 0$的两根,则这个三角形的周长为.

解方程$x^{2}-8x + 15=0$，因式分解得$(x - 3)(x - 5)=0$，则$x - 3=0$或$x - 5=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=5$。
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，三角形三边长为$3$，$3$，$5$。因为$3 + 3＞5$，$3 + 5＞3$，满足三角形三边关系，周长为$3 + 3 + 5=11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，三角形三边长为$5$，$5$，$3$。因为$5 + 5＞3$，$5 + 3＞5$，满足三角形三边关系，周长为$5 + 5 + 3=13$。
综上，这个三角形的周长为$11$或$13$。

6.用因式分解法解下列方程:
(1)$(2x-\sqrt {2})^{2}= 8;$
(2)$(x-\sqrt {3})= 5x(\sqrt {3}-x).$

(1) $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ 或 $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(2) $x = \sqrt{3}$ 或 $x = -\frac{1}{5}$。

(1) 将方程 $(2x - \sqrt{2})^2 = 8$ 展开并整理：
$(2x - \sqrt{2})^2 = 8 \implies 4x^2 - 4\sqrt{2}x + 2 = 8.$$ 移项得： $4x^2 - 4\sqrt{2}x - 6 = 0.$$
两边除以2：
$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0.$$ 尝试因式分解： $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = (2x - 3\sqrt{2})(x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0.$$
解得：
$x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \quad 或 \quad x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ (2) 将方程 $(x - \sqrt{3}) = 5x(\sqrt{3} - x)$ 移项并整理： $(x - \sqrt{3}) - 5x(\sqrt{3} - x) = 0.$$
提取公因式 $(\sqrt{3} - x)$：
$(x - \sqrt{3}) + 5x(x - \sqrt{3}) = 0 \implies (x - \sqrt{3})(1 + 5x) = 0.$$ 解得： $x = \sqrt{3} \quad 或 \quad x = -\frac{1}{5}.$$