10. 看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术,他摇身一变,就变成了$2$个孙悟空;这$2$个孙悟空摇身一变,又各变成$2$个,一共有$4$个孙悟空;这$4$个孙悟空再变,又变成了$8$个孙悟空……假设孙悟空一连变了$80$次,那么一共有个孙悟空。

$2^{80}$

变1次有$2^1$个孙悟空，变2次有$2^2$个孙悟空，变3次有$2^3$个孙悟空……变80次有$2^{80}$个孙悟空。
$2^{80}$

11. 已知下列等式：
①$1^{3}= 1^{2}$；②$1^{3}+2^{3}= 3^{2}$；③$1^{3}+2^{3}+3^{3}= 6^{2}$；④$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= 10^{2}$；…$$。由此规律知,第⑤个等式是。

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$

12. 计算：
(1)$-2^{2}×(-\frac{1}{2})^{2}÷0.8^{3}$；
(2)$(-3)^{3}×(-1\frac{7}{25})÷(-4^{2})×(-1)^{25}$；
(3)$4-(-2)^{2}-3^{3}÷(-1)^{2025}+0×(-2)^{3}$。

解:
(1)原式$=-4× \dfrac{1}{4}÷ \left(\dfrac{4}{5}\right)^{3}=-1÷ \dfrac{64}{125}=-1× \dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$。
(2)原式$=3^{3}× \dfrac{32}{25}÷ 4^{2}× 1=27× \dfrac{32}{25}× \dfrac{1}{16}× 1=27× \dfrac{2}{25}=2\dfrac{4}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷ (-1)+0=0-27× (-1)+0=27$。

13. 计算：$15^{2}= $；$25^{2}= $；$35^{2}= $；$45^{2}= $；$55^{2}= $。
(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^{2},95^{2}$的结果。
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^{2}=7225$,$95^{2}=9025$。

解:225 625 1225 2025 3025。
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^{2}=7225$,$95^{2}=9025$。

14. 已知：$(a×b)^{2}= a^{2}×b^{2}$；
$(a×b)^{3}= a^{3}×b^{3}$；
$(a×b)^{4}= a^{4}×b^{4}$。
(1)用特例验证上述等式是否成立。(取$a= 1,b= -2$)
(2)猜想：$(a×b)^{100}=$；$(a×b)^{n}=$。
(3)上述性质可以用来进行积的乘方运算,反之依然成立,即$a^{n}b^{n}= (a×b)^{n}$。计算：$(-\frac{1}{6})^{216}×6^{217}$。
解:
(1)略
(2)$a^{100}× b^{100}$ $a^{n}× b^{n}$
(3)$\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{216}× 6^{217}=\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{216}× 6^{216}× 6=\left(-\dfrac{1}{6}× 6\right)^{216}× 6=6$。

解:
(1)略
(2)$a^{100}× b^{100}$ $a^{n}× b^{n}$
(3)$\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{216}× 6^{217}=\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{216}× 6^{216}× 6=\left(-\dfrac{1}{6}× 6\right)^{216}× 6=6$。

(数学文化)$13$世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有$7$位老妇人,每人赶着$7$头毛驴,每头毛驴驮着$7$只口袋,每只口袋里装着$7$个面包,每个面包附有$7$把餐刀,每把餐刀有$7$只刀鞘。”则刀鞘数为()。
A.$42$
B.$49$
C.$7^{6}$
D.$7^{7}$

C

老妇人数量：7
毛驴数量：$7×7 = 7^{2}$
口袋数量：$7^{2}×7 = 7^{3}$
面包数量：$7^{3}×7 = 7^{4}$
餐刀数量：$7^{4}×7 = 7^{5}$
刀鞘数量：$7^{5}×7 = 7^{6}$
C