7. 如图,在坡角为 $ 30^{\circ} $ 的斜坡上的两树间的水平距离 $ AC $ 为 $ 2\sqrt{3}\ m $,则两树间的坡面距离 $ AB $ 为()

A.$ 4\ m $
B.$ \sqrt{3}\ m $
C.$ \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\ m $
D.$ 4\sqrt{3}\ m $

A

在直角三角形$ABC$中，已知坡角$\angle BAC = 30^{\circ}$，水平距离$AC = 2\sqrt{3} \ m$。
利用三角函数中的余弦函数，有：
$\cos 30^{\circ} = \frac{AC}{AB}$，
由于$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入上式得：
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{AB}$，
解这个方程，得到：
$AB = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 \ (m) $。

8. 某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度 $ i = 1:\sqrt{3} $,坝外斜坡的坡度 $ i = 1:1 $,则两个坡角的和为()
A.$ 60^{\circ} $
B.$ 75^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} $
D.$ 105^{\circ} $

B

设坝内斜坡的坡角为$\alpha$，坝外斜坡的坡角为$\beta$。
坝内斜坡坡度$i = 1:\sqrt{3}$，即$\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\alpha = 30°$。
坝外斜坡坡度$i = 1:1$，即$\tan\beta = 1$，则$\beta = 45°$。
两个坡角的和为$\alpha+\beta=30° + 45°=75°$。
B

9. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,若斜边上的高为 $ h $,$ \sin A = \dfrac{3}{5} $,则 $ AB $ 的长等于()
A.$ \dfrac{5}{4}h $
B.$ \dfrac{5}{3}h $
C.$ \dfrac{25}{12}h $
D.$ \dfrac{12}{25}h $

C

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，设$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$（斜边）。
由$\sin A=\frac{3}{5}$，得$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$，设$a=3k$，$c=5k$（$k＞0$）。
由勾股定理，$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2}=4k$。
斜边上的高为$h$，根据直角三角形面积公式：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=ch$。
代入$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，得$3k \cdot 4k=5k \cdot h$，化简得$12k^2=5kh$。
因为$k＞0$，两边同除以$k$得$12k=5h$，则$k=\frac{5h}{12}$。
所以$AB=c=5k=5 \cdot \frac{5h}{12}=\frac{25h}{12}$。

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ O $ 是角平分线 $ AD $,$ BE $ 的交点. 若 $ AB = AC = 10 $,$ BC = 12 $,则 $ \tan \angle OBD $ 的值是()

A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \dfrac{\sqrt{6}}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{6}}{4} $

A

∵AB=AC=10，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=BC/2=6（等腰三角形三线合一）．
在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√(10²-6²)=8．
∵O是角平分线AD，BE的交点，
∴O是△ABC的内心，内切圆半径r=S/p，其中S为面积，p为半周长．
S=1/2×BC×AD=1/2×12×8=48，
p=(AB+BC+AC)/2=(10+12+10)/2=16，
∴r=48/16=3，即OD=r=3（O在AD上，OD为内切圆半径）．
在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD/BD=3/6=1/2．

11. 如图,某飞机于空中 $ A $ 处探测到目标 $ C $,此时飞行高度 $ AC = 1200\ m $,从飞机上看地面控制点 $ B $ 的俯角 $ \alpha = 20^{\circ} $,则飞机 $ A $ 到控制点 $ B $ 的距离约为.($ \sin 20^{\circ} \approx 0.342 $,结果保留整数)

（保留整数后的结果对应的填空答案）$3509$

由题意知，$\angle B = \alpha = 20^{\circ}$，
在$Rt \bigtriangleup ABC$中 ，$\sin B = \frac{AC}{AB}$。
已知$AC = 1200m$，$\sin 20^{\circ} \approx 0.342$，将其代入$\sin B = \frac{AC}{AB}$可得：
$AB=\frac{AC}{\sin B}=\frac{1200}{\sin20^{\circ}}\approx\frac{1200}{0.342}\approx3509$（$m$）

12. 如图,在矩形 $ ABCD (AD ＞ AB) $ 中,$ AB = a $,$ \angle BDA = \theta $,在 $ BD $ 上找一点 $ E $,使得 $ AE = AB $,用 $ a $ 与 $ \theta $ 表示 $ BE = $.

2a sinθ

在矩形ABCD中，∠BAD=90°，在Rt△ABD中，∠BDA=θ，AB=a，由sinθ=AB/BD得BD=a/sinθ，∠ABD=90°-θ。
∵AE=AB=a，∴△ABE为等腰三角形，过A作AF⊥BD于F，则BF=FE=BE/2。
在Rt△ABF中，∠ABF=90°-θ，cos∠ABF=BF/AB，即BF=AB·cos(90°-θ)=a sinθ。
∴BE=2BF=2a sinθ。

13. 若等腰三角形 $ ABC $ 的周长为 $ 30 $,其中一个内角的余弦值为 $ \dfrac{2}{3} $,则其腰长为.

9

设腰长为$x$，底边长为$y$，则$2x + y = 30$，$y = 30 - 2x$。
情况一：内角为底角，$\cos\alpha=\frac{2}{3}$
过顶点作底边高，将等腰三角形分为两直角三角形，底角邻边为$\frac{y}{2}$，斜边为腰长$x$。
由$\cos\alpha=\frac{\frac{y}{2}}{x}=\frac{2}{3}$，得$y=\frac{4}{3}x$。
代入周长：$2x+\frac{4}{3}x=30$，解得$x=9$，$y=12$。三边$9,9,12$成立。
情况二：内角为顶角，$\cos\beta=\frac{2}{3}$
需用同角三角函数关系或二倍角公式，超出九年级上册知识范围，舍去。
综上，腰长为$9$。