登录
5. (★)抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+3$的开口向
下
,顶点坐标是$(0,3)$
,对称轴是$x = 0$（或 $y$轴）
.答案
开口向下，顶点坐标是$(0,3)$，对称轴是$x = 0$（或 $y$轴），（由于题目要求填空顺序，依次填：下，$(0,3)$，$x = 0$（或 $y$轴））。
解析
对于抛物线$y = ax^{2} + c$，当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3$中，$a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
对于抛物线$y = ax^{2} + c$，其顶点坐标为$(0,c)$，对称轴为$y$轴（即$x = 0$）。
在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3$中，$c = 3$，所以顶点坐标为$(0,3)$，对称轴为$x = 0$（$y$轴）。
在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3$中，$a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
对于抛物线$y = ax^{2} + c$，其顶点坐标为$(0,c)$，对称轴为$y$轴（即$x = 0$）。
在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3$中，$c = 3$，所以顶点坐标为$(0,3)$，对称轴为$x = 0$（$y$轴）。
6. (★)顶点为$(0,-5)$且开口方向、形状与函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象相同的抛物线是【
A.$y = -\frac{1}{2}x^{2}+5$
B.$y = -\frac{1}{2}x^{2}-5$
C.$y = \frac{1}{2}x^{2}-5$
D.$y = \frac{1}{2}x^{2}+5$
B
】A.$y = -\frac{1}{2}x^{2}+5$
B.$y = -\frac{1}{2}x^{2}-5$
C.$y = \frac{1}{2}x^{2}-5$
D.$y = \frac{1}{2}x^{2}+5$
答案
B
解析
根据题意，所求抛物线的开口方向与形状与函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$相同，因此二次项系数应为$-\frac{1}{2}$。
抛物线的顶点为$(0, -5)$，所以抛物线的顶点式可写为$y = a(x - h)^{2} + k$，其中$a = -\frac{1}{2}$，$h = 0$，$k = -5$。
代入得：$y = -\frac{1}{2}x^{2} - 5$。
对比选项，与选项B一致。
抛物线的顶点为$(0, -5)$，所以抛物线的顶点式可写为$y = a(x - h)^{2} + k$，其中$a = -\frac{1}{2}$，$h = 0$，$k = -5$。
代入得：$y = -\frac{1}{2}x^{2} - 5$。
对比选项，与选项B一致。
7. (★)若函数$y = 4x^{2}+1的函数值为5$,则自变量$x$的值应为【
A.$1$
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C
】A.$1$
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
答案
C
解析
根据题意，函数值为5，即 $4x^{2} + 1 = 5$。
化简可得 $4x^{2} = 4$，进一步化简为 $x^{2} = 1$。
解得 $x = \pm 1$。
8. (★)将抛物线$y = x^{2}+1$向下平移2个单位长度,则此时抛物线的解析式是
$y=x^2-1$
.答案
$y=x^2-1$（或 写为$y = x^{2} - 1$）
解析
原抛物线的解析式为$y = x^{2} + 1$，根据平移规律，向下平移2个单位长度，即在原解析式的基础上减去2，得到新的解析式为$y = x^{2} + 1 - 2 = x^{2} - 1$。
9. (★)抛物线$y = -\frac{1}{6}x^{2}+3与x$轴的两交点坐标为
$(-3\sqrt{2},0),(3\sqrt{2},0)$
,与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$
.答案
$(-3\sqrt{2},0),(3\sqrt{2},0)$；$(0,3)$
解析
1. 求与$x$轴的交点坐标：
当$y = 0$时，$-\frac{1}{6}x^{2}+3 = 0$。
移项可得$\frac{1}{6}x^{2}=3$，即$x^{2}=18$。
求解$x$，$x=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt{2}$。
所以抛物线与$x$轴的两交点坐标为$(-3\sqrt{2},0)$和$(3\sqrt{2},0)$。
2. 求与$y$轴的交点坐标：
当$x = 0$时，$y=-\frac{1}{6}×0^{2}+3 = 3$。
所以抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$。
当$y = 0$时，$-\frac{1}{6}x^{2}+3 = 0$。
移项可得$\frac{1}{6}x^{2}=3$，即$x^{2}=18$。
求解$x$，$x=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt{2}$。
所以抛物线与$x$轴的两交点坐标为$(-3\sqrt{2},0)$和$(3\sqrt{2},0)$。
2. 求与$y$轴的交点坐标：
当$x = 0$时，$y=-\frac{1}{6}×0^{2}+3 = 3$。
所以抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$。
10. (★★)已知二次函数$y = -x^{2}+1$,当自变量$x满足-1\leqslant x＜3$时,函数值$y$的取值范围是
$-8\lt y\leqslant 1$
.答案
$ -8\lt y\leqslant 1$
解析
对于二次函数 $ y = -x^2 + 1 $，系数为负，故抛物线开口向下，顶点在 $ (0, 1) $。
当 $ x = 0 $ 时，$ y $ 取得最大值 1。
分别代入边界值：
当 $ x = -1 $ 时，$ y = -(-1)^2 + 1 = 0 $。
当 $ x = 3 $ 时（虽然 $ x $ 不取到 3，但可计算其极限值），$ y = -(3)^2 + 1 = -8 $。
在区间 $ -1 \leq x ＜ 3 $ 内，$ y $ 的最小值趋近于 $ -8 $，但由于 $ x $ 不取 3，故 $ y $ 严格大于 $ -8 $。
因此，$ y $ 的取值范围为：$ -8 ＜ y \leq 1 $。
当 $ x = 0 $ 时，$ y $ 取得最大值 1。
分别代入边界值：
当 $ x = -1 $ 时，$ y = -(-1)^2 + 1 = 0 $。
当 $ x = 3 $ 时（虽然 $ x $ 不取到 3，但可计算其极限值），$ y = -(3)^2 + 1 = -8 $。
在区间 $ -1 \leq x ＜ 3 $ 内，$ y $ 的最小值趋近于 $ -8 $，但由于 $ x $ 不取 3，故 $ y $ 严格大于 $ -8 $。
因此，$ y $ 的取值范围为：$ -8 ＜ y \leq 1 $。
11. (★★)已知点$A(-2,y_{1}),B(-1,y_{2}),C(3,y_{3})$三点在抛物线$y = 2x^{2}-3$的图象上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是【
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
C
】A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
答案
C
解析
已知抛物线方程为 $y = 2x^2 - 3$，将各点横坐标代入计算：
对于点 $A(-2, y_1)$，$y_1 = 2(-2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5$；
对于点 $B(-1, y_2)$，$y_2 = 2(-1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1$；
对于点 $C(3, y_3)$，$y_3 = 2(3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15$。
比较大小：$y_3 = 15 ＞ y_1 = 5 ＞ y_2 = -1$，即 $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$。
12. (★★)如图 22.1-6,已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到x轴的距离相等,点$M的坐标为(3,6)$,$P是抛物线y = \frac{1}{4}x^{2}+1$上一动点,则$\triangle PMF$周长的最小值是
11
.答案
11
解析
由抛物线性质知，抛物线上点P到焦点F(0,2)的距离等于到准线x轴的距离，即PF = y（y为P的纵坐标）。△PMF周长=PM + PF + MF，MF为定值，故需PM + PF最小。
因PF = y（P到x轴距离），则PM + PF = PM + P到x轴距离。过M(3,6)作x轴垂线，交抛物线于P，此时PM + P到x轴距离最小，等于M到x轴距离6。
计算MF：M(3,6)、F(0,2)，MF = √[(3-0)² + (6-2)²] = 5。
故周长最小值=6 + 5 = 11。
因PF = y（P到x轴距离），则PM + PF = PM + P到x轴距离。过M(3,6)作x轴垂线，交抛物线于P，此时PM + P到x轴距离最小，等于M到x轴距离6。
计算MF：M(3,6)、F(0,2)，MF = √[(3-0)² + (6-2)²] = 5。
故周长最小值=6 + 5 = 11。
13. (★★)小明在某次投篮中,篮球的运动路线是抛物线$y = -\frac{1}{5}x^{2}+3.5$的一部分(如图 22.1-7),若投篮命中篮圈中心,则他与篮底的水平距离$l$是【
A.$3.5m$
B.$4m$
C.$4.5m$
D.$4.6m$
B
】A.$3.5m$
B.$4m$
C.$4.5m$
D.$4.6m$
答案
B
解析
已知篮圈中心高度为3.05m，即y=3.05。代入抛物线方程$y = -\frac{1}{5}x^{2}+3.5$，得$3.05 = -\frac{1}{5}x^{2}+3.5$。移项可得$\frac{1}{5}x^{2}=3.5 - 3.05 = 0.45$，则$x^{2}=2.25$，解得$x = 1.5$（篮圈在y轴右侧，取正值）。小明位置在x=-2.5处，所以水平距离$l = |1.5 - (-2.5)| = 4m$。
