21. (8 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是 BC 边上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点 E,F.请添加一个条件,使 DE = DF,并说明理由.

添加条件：BD=CD。
理由：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵BD=CD，
∴AD是△ABC的中线。
又∵等腰三角形底边上的中线也是顶角的平分线，
∴AD平分∠BAC。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

22. (10 分)如图,点 E 在△ABC 的 AC 边延长线上,点 D 在 AB 边上,DE 交 BC 于点 F,DF = EF,BD = CE.求证:△ABC 是等腰三角形.

证明：过点D作DG//AC交BC于点G。
∵DG//AC，
∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等），
∠DGF=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∠GDF=∠E（两直线平行，内错角相等）。
在△DGF和△ECF中，
∠DGF=∠ECF，
∠GDF=∠E，
DF=EF，
∴△DGF≌△ECF（AAS）。
∴DG=CE（全等三角形对应边相等）。
∵BD=CE，
∴DG=BD（等量代换）。
∴∠B=∠DGB（等边对等角）。
∵∠DGB=∠ACB，
∴∠B=∠ACB（等量代换）。
∴AB=AC（等角对等边）。
∴△ABC是等腰三角形。