13. (★★)一个圆锥的侧面积是底面积的 $ 3 $ 倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是【】
A.$ 120^{\circ} $
B.$ 180^{\circ} $
C.$ 240^{\circ} $
D.$ 300^{\circ} $

A

设圆锥底面半径为$r$，母线长为$l$，圆心角为$n^{\circ}$。底面积$S_{底}=\pi r^{2}$，侧面积$S_{侧}=\pi rl$。由题意$S_{侧}=3S_{底}$，得$\pi rl = 3\pi r^{2}$，即$l = 3r$。圆锥侧面展开图扇形弧长为$2\pi r$，扇形弧长公式$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$，代入$l = 3r$，$\frac{n\pi \cdot 3r}{180}=2\pi r$，解得$n = 120$。

14. (★★)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动. 如图 24.4 - 22 所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径 $ AB = 8 cm $,圆柱体部分的高 $ BC = 6 cm $,圆锥体部分的高 $ CD = 3 cm $,则这个陀螺的表面积是【】

A.$ 68\pi cm^2 $
B.$ 74\pi cm^2 $
C.$ 84\pi cm^2 $
D.$ 100\pi cm^2 $

C

底面圆半径$r = \frac{AB}{2} = 4\,cm$。
圆柱侧面积：$2\pi r \cdot BC = 2\pi × 4 × 6 = 48\pi\,cm^2$。
圆柱底面积（陀螺底面）：$\pi r^2 = \pi × 4^2 = 16\pi\,cm^2$。
圆锥母线长$l = \sqrt{r^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,cm$，圆锥侧面积：$\pi r l = \pi × 4 × 5 = 20\pi\,cm^2$。
陀螺表面积：$48\pi + 16\pi + 20\pi = 84\pi\,cm^2$。

15. (★★★)如图 24.4 - 23,圆锥的底面半径为 $ 5 $,母线长为 $ 20 $,一只蜘蛛从底面圆周上一点 $ A $ 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 $ A $ 的最短路程是______.

$20\sqrt{2} $

设圆锥的底面半径为 $ r = 5 $，母线长为 $ l = 20 $。
将圆锥侧面展开成一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长，即 $ 2\pi r = 10\pi $。
扇形的半径为圆锥的母线长 $ l = 20 $。
扇形的圆心角 $ \theta $ 满足：
$ \theta = \frac{弧长}{半径} = \frac{10\pi}{20} = \frac{\pi}{2} $。
在展开的扇形中，蜘蛛从点 $ A $ 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 $ A $ 的最短路程即为扇形的两条半径之和（因为圆心角为 $ \frac{\pi}{2} $，所以两条半径垂直）。
最短路程为扇形的两条半径的长度之和形成的直角三角形的斜边，即：
$ 最短路程 = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} $。

16. (★★★)(2023·东港区)如图 24.4 - 24,点 $ O $ 为正六边形 $ ABCDEF $ 的中心,$ M $ 为 $ AF $ 的中点,以点 $ O $ 为圆心,以 $ OM $ 的长为半径画弧得到扇形 $ MON $,点 $ N $ 在 $ BC $ 上；以点 $ E $ 为圆心,以 $ DE $ 的长为半径画弧得到扇形 $ DEF $. 把扇形 $ MON $ 的两条半径 $ OM $,$ ON $ 重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为 $ r_1 $,将扇形 $ DEF $ 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为 $ r_2 $,则 $ r_1 : r_2 = $.

√3:2

设正六边形边长为 $a$，外接圆半径 $OA=OB=OC=OD=OE=OF=a$。
扇形 DEF 分析：
半径 $R_2=DE=a$，圆心角为正六边形内角 $120°$。
弧长 $L_2=\frac{120\pi a}{180}=\frac{2\pi a}{3}$。
圆锥底面周长 $2\pi r_2=L_2$，得 $r_2=\frac{a}{3}$。
扇形 MON 分析：
$M$ 为 $AF$ 中点，$AF=a$，$\angle AOF=60°$（中心角），$OM$ 为 $\triangle AOF$ 中线，$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}a$（等边三角形中线公式）。
点 $N$ 在 $BC$ 上，$ON=OM=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，由坐标计算得 $\angle MON=120°$。
弧长 $L_1=\frac{120\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a}{180}=\frac{\sqrt{3}\pi a}{3}$。
圆锥底面周长 $2\pi r_1=L_1$，得 $r_1=\frac{\sqrt{3}a}{6}$。
比值计算：
$r_1:r_2=\frac{\sqrt{3}a}{6}:\frac{a}{3}=\sqrt{3}:2$。

17. (★★)(2023·自贡)如图 24.4 - 25,小珍同学用半径为 $ 8 cm $,圆心角为 $ 100^{\circ} $ 的扇形纸片制作一个底面半径为 $ 2 cm $ 的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是______ $ cm^2 $.

$\frac{16\pi}{9}$

圆锥底面周长为$C = 2\pi r = 2\pi×2 = 4\pi\ cm$。设圆锥侧面展开图所需扇形圆心角为$n'$，则$\frac{n'\pi×8}{180}=4\pi$，解得$n' = 90°$。原扇形圆心角为$100°$，多出来的圆心角为$100° - 90° = 10°$。粘贴部分面积为$\frac{10×\pi×8^2}{360}=\frac{16\pi}{9}\ cm^2$。

18. (★★)(2023·硚口模拟)如图 24.4 - 26,在正方形 $ ABCD $ 铁皮上,以 $ A $ 为圆心剪下一个圆心角为 $ 90^{\circ} $ 的扇形,剩余部分剪一个半径为 $ r $ 的圆形,使之恰好围成一个圆锥. 若 $ AC = 5 + \sqrt{2} $,则 $ r $ 的最大值是.

1

设正方形边长为$a$，圆形半径为$r$。
1. 正方形对角线$AC=a\sqrt{2}=5+\sqrt{2}$，则$a=\frac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。
2. 扇形圆心角$90°$，半径为$R$，弧长$=\frac{90°}{360°}×2\pi R=\frac{\pi R}{2}$。圆锥底面周长$=2\pi r$，故$\frac{\pi R}{2}=2\pi r\Rightarrow R=4r$。
3. 剩余圆形与正方形两边相切，圆心为$(a-r,a-r)$，与扇形弧（半径$R=4r$）外切，圆心距$=\sqrt{(a-r)^2+(a-r)^2}=5r$。
4. 即$(a-r)\sqrt{2}=5r\Rightarrow a=r\left(\frac{5}{\sqrt{2}}+1\right)$。代入$a=\frac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，解得$r=1$。