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8. (教材变式)如图,在$△ABC$中,D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点,BE,CD 相交于点 F,$∠A= 70^{\circ },∠ACD= 20^{\circ },∠BFC= 115^{\circ }$,则$∠ABE$的度数为____.
答案
$25^{\circ}$
9. 图中$∠α$的度数为____.
答案
$105^{\circ}$
10. 如图,D 为$△ABC$的边 BC 的延长线上一点,$DF⊥AB$于点 F,交 AC 于点 E,$∠A= 35^{\circ },∠D= 42^{\circ }$,则$∠ACD$的度数为____.
答案
$83^{\circ}$
11. 如图,在$△ABC$中,D 是 BC 边上的一点,$∠C= ∠DAC,∠B= ∠ADB,∠BAC= 87^{\circ }$.求$∠DAC$的度数.
答案
解：$\because \angle C=\angle DAC$，
$\therefore$ 设 $\angle C=\angle DAC=x$，
则 $\angle B=\angle ADB=\angle DAC+\angle C=$ $2x$.
$\because \angle BAC=87^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=93^{\circ}$，
$\therefore x+2x=93^{\circ}$，
$\therefore x=31^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC=31^{\circ}$.
$\therefore$ 设 $\angle C=\angle DAC=x$，
则 $\angle B=\angle ADB=\angle DAC+\angle C=$ $2x$.
$\because \angle BAC=87^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=93^{\circ}$，
$\therefore x+2x=93^{\circ}$，
$\therefore x=31^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC=31^{\circ}$.
12. (2025 南通)如图,在$△ABC$中,D,E 分别为 BC,AC 上的点,连接 AD,DE,若$∠ADE= ∠B$,求证:$∠AED= ∠BAD+∠C$.
答案
证明：$\because \angle ADC$ 是 $\triangle ABD$ 的外角，
$\therefore \angle ADC=\angle B+\angle BAD$.
$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle CDE$，
$\therefore \angle ADE+\angle CDE=\angle B+$ $\angle BAD$.
$\because \angle ADE=\angle B$，
$\therefore \angle CDE=\angle BAD$，
$\therefore \angle AED=\angle CDE+\angle C$
$=\angle BAD+\angle C$.
$\therefore \angle ADC=\angle B+\angle BAD$.
$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle CDE$，
$\therefore \angle ADE+\angle CDE=\angle B+$ $\angle BAD$.
$\because \angle ADE=\angle B$，
$\therefore \angle CDE=\angle BAD$，
$\therefore \angle AED=\angle CDE+\angle C$
$=\angle BAD+\angle C$.
13. (教材变式)如图,AD 是$△ABC$的角平分线,BE 平分$∠ABD$,交 AD 于点 E.
(1)【特例探究】 若$∠BED= 50^{\circ }$,求$∠C$的度数;
(2)【一般情形】 试探究$∠BED与∠C$之间的数量关系.
(1)【特例探究】 若$∠BED= 50^{\circ }$,求$∠C$的度数;
(2)【一般情形】 试探究$∠BED与∠C$之间的数量关系.
答案
解：(1)$\because AE$，$BE$ 分别平分 $\angle BAC$， $\angle ABC$，
$\therefore \angle ABE+\angle BAE=\frac{1}{2}(\angle ABC+$ $\angle BAC)$.
$\because \angle BED=\angle ABE+\angle BAE$
$=50^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle BAC=100^{\circ}$，
$\therefore \angle C=80^{\circ}$；
(2)$\angle BED=\angle ABE+\angle BAE$
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$\therefore \angle ABE+\angle BAE=\frac{1}{2}(\angle ABC+$ $\angle BAC)$.
$\because \angle BED=\angle ABE+\angle BAE$
$=50^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle BAC=100^{\circ}$，
$\therefore \angle C=80^{\circ}$；
(2)$\angle BED=\angle ABE+\angle BAE$
![img alt=13.3.2-1]
