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1. 一个长方形铁片,长24 cm,宽18 cm,在四角各截去一个相同的正方形,而后折起来做一个没盖的盒子,使底面积是原来长方形面积的一半,求盒子的高是多少? 若设盒子的高是x cm,则可列方程为$( )$
D
答案
解：设盒子的高是$x$cm，因为在长方形铁片四角各截去一个相同的正方形，所以折成的无盖盒子底面的长为$(24 - 2x)$cm，宽为$(18 - 2x)$cm。
原来长方形的面积为$24×18$，底面积是原来长方形面积的一半，所以可列方程为$(24 - 2x)(18 - 2x)=\frac{1}{2}×24×18$。
答案：D
原来长方形的面积为$24×18$，底面积是原来长方形面积的一半，所以可列方程为$(24 - 2x)(18 - 2x)=\frac{1}{2}×24×18$。
答案：D
2. 在一幅长60 cm,宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的纸边,制成一幅矩形挂图,若设纸边的宽为x cm,如果要使整幅挂图的面积是$2816 cm^2,$则可列方程为(
A.(60+2x)(40+2x)= 2816
B.(60+x)(40+x)= 2816
C.(60+2x)(40+x)= 2816
D.(60+x)(40+2x)= 2816
A
)A.(60+2x)(40+2x)= 2816
B.(60+x)(40+x)= 2816
C.(60+2x)(40+x)= 2816
D.(60+x)(40+2x)= 2816
答案
【解析】：
本题主要考察矩形面积的计算以及一元二次方程的建立。
首先，矩形风景画的长为60cm，宽为40cm。当四周都镶上宽度为$x$ cm的纸边后，新的矩形挂图的长和宽将分别变为$(60 + 2x)$ cm和$(40 + 2x)$ cm。
矩形面积的计算公式是长乘以宽，所以新的矩形挂图的面积将是$(60 + 2x) × (40 + 2x)$ $cm^2$。
题目要求整幅挂图的面积是$2816$ $cm^2$，因此可以建立方程：$(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816$。
【答案】：
A. $(60+2x)(40+2x)= 2816$
本题主要考察矩形面积的计算以及一元二次方程的建立。
首先，矩形风景画的长为60cm，宽为40cm。当四周都镶上宽度为$x$ cm的纸边后，新的矩形挂图的长和宽将分别变为$(60 + 2x)$ cm和$(40 + 2x)$ cm。
矩形面积的计算公式是长乘以宽，所以新的矩形挂图的面积将是$(60 + 2x) × (40 + 2x)$ $cm^2$。
题目要求整幅挂图的面积是$2816$ $cm^2$，因此可以建立方程：$(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816$。
【答案】：
A. $(60+2x)(40+2x)= 2816$
3. 如图1,在长为54 m,宽为38 m的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪. 要使草坪的面积为$1800 m^2,$设道路的宽为x m,则可列方程为(
$A. 54x+38x-x^2= 1800$
$B. (54-x)(38-x)= 1800$
$C. 54×38-54x-38x-x^2= 1800$
$D. (54-x)(38-x)÷x^2= 1800$
B
)$A. 54x+38x-x^2= 1800$
$B. (54-x)(38-x)= 1800$
$C. 54×38-54x-38x-x^2= 1800$
$D. (54-x)(38-x)÷x^2= 1800$
答案
【解析】：本题可通过平移的方式，将道路平移到矩形的边缘，从而得到种植草坪部分的长和宽，再根据矩形面积公式列出方程。
步骤一：分析平移后种植草坪部分的长和宽
观察图形可知，将横向的道路向上平移，纵向的道路向左平移，此时种植草坪部分可拼成一个新的矩形。
新矩形的长为原来矩形的长减去道路的宽，即$(54 - x)m$；新矩形的宽为原来矩形的宽减去道路的宽，即$(38 - x)m$。
步骤二：根据矩形面积公式列出方程
已知矩形的面积公式为$S = 长×宽$，因为草坪的面积为$1800m^2$，新矩形的长为$(54 - x)m$，宽为$(38 - x)m$，所以可列方程为$(54 - x)(38 - x) = 1800$。
【答案】：B
步骤一：分析平移后种植草坪部分的长和宽
观察图形可知，将横向的道路向上平移，纵向的道路向左平移，此时种植草坪部分可拼成一个新的矩形。
新矩形的长为原来矩形的长减去道路的宽，即$(54 - x)m$；新矩形的宽为原来矩形的宽减去道路的宽，即$(38 - x)m$。
步骤二：根据矩形面积公式列出方程
已知矩形的面积公式为$S = 长×宽$，因为草坪的面积为$1800m^2$，新矩形的长为$(54 - x)m$，宽为$(38 - x)m$，所以可列方程为$(54 - x)(38 - x) = 1800$。
【答案】：B
1. 如图2,某单位在直角墙角处,用60 m长的建筑材料围成一个矩形场地,中间用同样的材料分隔为两间,问AB为多少长时,所围成的矩形面积是$450 m^2. $设AB的长为x m,则可列方程为
$x(60 - 3x) = 450$
.答案
【解析】：
设$AB$的长为$x$米，
因为是用60米长的建筑材料围成一个矩形场地，中间用同样的材料分隔为两间，
$AB$为宽，且有两段，$BC$为长，
所以$BC$的长为$(60 - 3x)$米，
又因为所围成的矩形面积是450平方米，
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，
则可列方程为$x(60 - 3x) = 450$。
【答案】：
$x(60 - 3x) = 450$
设$AB$的长为$x$米，
因为是用60米长的建筑材料围成一个矩形场地，中间用同样的材料分隔为两间，
$AB$为宽，且有两段，$BC$为长，
所以$BC$的长为$(60 - 3x)$米，
又因为所围成的矩形面积是450平方米，
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，
则可列方程为$x(60 - 3x) = 450$。
【答案】：
$x(60 - 3x) = 450$
2. 一条长64 cm的铁丝被剪成两段,每段均折成正方形,若正方形的面积和为$160 cm^2,$设其中一个正方形的边长为x cm,则可列方程为
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
.答案
【解析】：
本题考查了一元二次方程的建立。
首先，假设其中一个正方形的边长为$x cm$，则这个正方形的周长为$4x cm$。
由于铁丝的总长为$64 cm$，并且被剪成了两段，每段都折成了正方形，所以另一个正方形的周长就是$64 - 4x cm$。
那么另一个正方形的边长就是$\frac{64 - 4x}{4} = 16 - x cm$。
接下来，根据题目中给出的两个正方形的面积和为$160 cm^2$，可以列出方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$。
【答案】：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$。
本题考查了一元二次方程的建立。
首先，假设其中一个正方形的边长为$x cm$，则这个正方形的周长为$4x cm$。
由于铁丝的总长为$64 cm$，并且被剪成了两段，每段都折成了正方形，所以另一个正方形的周长就是$64 - 4x cm$。
那么另一个正方形的边长就是$\frac{64 - 4x}{4} = 16 - x cm$。
接下来，根据题目中给出的两个正方形的面积和为$160 cm^2$，可以列出方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$。
【答案】：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$。
3. 如图3,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1 m的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为$15 m^3$的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2 m,现已知购买这种铁皮每平方米需20元. 张大叔购回这张矩形铁皮共花了
700
元.答案
解：设长方体箱子底面宽为 $ x $ m，则长为 $ (x + 2) $ m。
由题意，长方体箱子的高为 1 m，容积为 $ 15 \, m^3 $，根据长方体体积公式 $ V = 长 × 宽 × 高 $，得：
$x(x + 2) × 1 = 15$
整理得：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
解得：
$x_1 = 3, \, x_2 = -5 \, (\text{不合题意，舍去})$
则长方体箱子底面宽为 $ 3 \, m $，长为 $ 3 + 2 = 5 \, m $。
原矩形铁皮的宽为 $ 3 + 1 × 2 = 5 \, m $，长为 $ 5 + 1 × 2 = 7 \, m $。
矩形铁皮面积为 $ 7 × 5 = 35 \, m^2 $。
购回铁皮花费为 $ 35 × 20 = 700 \, \text{元} $。
700
由题意，长方体箱子的高为 1 m，容积为 $ 15 \, m^3 $，根据长方体体积公式 $ V = 长 × 宽 × 高 $，得：
$x(x + 2) × 1 = 15$
整理得：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
解得：
$x_1 = 3, \, x_2 = -5 \, (\text{不合题意，舍去})$
则长方体箱子底面宽为 $ 3 \, m $，长为 $ 3 + 2 = 5 \, m $。
原矩形铁皮的宽为 $ 3 + 1 × 2 = 5 \, m $，长为 $ 5 + 1 × 2 = 7 \, m $。
矩形铁皮面积为 $ 7 × 5 = 35 \, m^2 $。
购回铁皮花费为 $ 35 × 20 = 700 \, \text{元} $。
700
