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1. 不等式 $ x - 1 \leq 2 $ 的非负整数解有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案
D
2. 不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 3, \\ 2 - 2x ＜ 4 \end{cases} $ 的解集是( )
A. $ x ＞ 4 $
B. $ x ＞ - 1 $
C. $ - 1 ＜ x ＜ 4 $
D. $ x ＜ - 1 $
A. $ x ＞ 4 $
B. $ x ＞ - 1 $
C. $ - 1 ＜ x ＜ 4 $
D. $ x ＜ - 1 $
答案
A
3. 若三个实数 $ a,b,c $ 满足 $ a - 2b + c = 0,a + 2b + c ＜ 0 $，则( )
A. $ b ＞ 0,b ^ { 2 } - a c \leq 0 $
B. $ b ＜ 0,b ^ { 2 } - a c \leq 0 $
C. $ b ＞ 0,b ^ { 2 } - a c \geq 0 $
D. $ b ＜ 0,b ^ { 2 } - a c \geq 0 $
A. $ b ＞ 0,b ^ { 2 } - a c \leq 0 $
B. $ b ＜ 0,b ^ { 2 } - a c \leq 0 $
C. $ b ＞ 0,b ^ { 2 } - a c \geq 0 $
D. $ b ＜ 0,b ^ { 2 } - a c \geq 0 $
答案
D
4. 语句“$ x $ 的 $ \frac { 1 } { 8 } $ 与 $ x $ 的和不超过 5”可以表示为______.
答案
$\frac{1}{8}x + x\leqslant5$
5. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac { 2 x - m } { x - 3 } = 1 $ 的解是非正数，则 $ m $ 的取值范围是______.
答案
$m\leqslant3$
6. 若 $ a $ 为有理数，且 $ 2 - a $ 的值大于 1，则 $ a $ 的取值范围是______.
答案
$a ＜ 1$
7. 解不等式组：$ \begin{cases} x + 1 ＜ 5, \\ 2 ( x + 4 ) ＞ 3 x + 7. \end{cases} $
答案
【解析】：
解不等式$x + 1\lt5$，
根据不等式的基本性质，在不等式两边同时减去$1$，不等号方向不变，得到$x+1 - 1\lt5 - 1$，即$x\lt4$。
解不等式$2(x + 4)\gt3x + 7$，
先根据乘法分配律去括号，得$2x+8\gt3x + 7$。
然后在不等式两边同时减去$2x$，不等号方向不变，得到$2x+8-2x\gt3x + 7-2x$，即$8\gt x + 7$。
再在不等式两边同时减去$7$，不等号方向不变，得到$8 - 7\gt x+7 - 7$，即$x\lt1$。
综合两个不等式的解$x\lt4$和$x\lt1$，根据同小取小的原则，不等式组的解集为$x\lt1$。
【答案】：$x\lt1$
解不等式$x + 1\lt5$，
根据不等式的基本性质，在不等式两边同时减去$1$，不等号方向不变，得到$x+1 - 1\lt5 - 1$，即$x\lt4$。
解不等式$2(x + 4)\gt3x + 7$，
先根据乘法分配律去括号，得$2x+8\gt3x + 7$。
然后在不等式两边同时减去$2x$，不等号方向不变，得到$2x+8-2x\gt3x + 7-2x$，即$8\gt x + 7$。
再在不等式两边同时减去$7$，不等号方向不变，得到$8 - 7\gt x+7 - 7$，即$x\lt1$。
综合两个不等式的解$x\lt4$和$x\lt1$，根据同小取小的原则，不等式组的解集为$x\lt1$。
【答案】：$x\lt1$
8. 某工厂要在规定期限内完成 2160 个零件的加工任务，计划安排 15 名工人每人每天加工 $ a $ ( $ a $ 为整数)个零件. 开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每天只多加工 2 个零件，则不能按期完成这次任务，求 $ a $ 的最小值.
答案
【解析】：
设原计划$t$天完成任务，开工$x$天后$3$人外出培训。
- **步骤一：根据已知条件列出相关等式和不等式**
已知要完成$2160$个零件的加工任务，计划安排$15$名工人每人每天加工$a$个零件，则可得到$15at = 2160$，化简可得$at = 144$。
$15$名工人开工$x$天加工的零件数为$15ax$个；$3$人外出培训后，剩下$(15 - 3)=12$名工人，每人每天加工$(a + 2)$个零件，剩下$(t - x)$天加工的零件数为$12(a + 2)(t - x)$个。
因为剩下的工人每人每天只多加工$2$个零件不能按期完成这次任务，所以$15ax+12(a + 2)(t - x)＜2160$。
- **步骤二：对不等式进行化简**
将$15ax+12(a + 2)(t - x)＜2160$展开可得：
$15ax+12at-12ax + 24t-24x＜2160$
合并同类项得：$3ax+12at + 24t-24x＜2160$
把$15at = 2160$（即$at = 144$）代入上式可得：
$3ax+12\times144 + 24t-24x＜2160$
$3ax+1728 + 24t-24x＜2160$
$3ax+24t-24x＜432$
- **步骤三：进一步分析并求解$a$的取值范围**
因为$at = 144$，$t=\frac{144}{a}$，且$x$，$t$为正整数。
我们可以从$a$的取值去尝试，当$a = 9$时，$t=\frac{144}{9}=16$。
假设$x = 1$，则$15\times9\times1+12\times(9 + 2)\times(16 - 1)=135+12\times11\times15=135 + 1980=2115＜2160$，满足不能按期完成任务。
当$a = 8$时，$t=\frac{144}{8}=18$。
假设$x = 1$，$15\times8\times1+12\times(8 + 2)\times(18 - 1)=120+12\times10\times17=120 + 2040=2160$，不满足不能按期完成任务。
所以$a$的最小值为$9$。
【答案】：$9$
设原计划$t$天完成任务，开工$x$天后$3$人外出培训。
- **步骤一：根据已知条件列出相关等式和不等式**
已知要完成$2160$个零件的加工任务，计划安排$15$名工人每人每天加工$a$个零件，则可得到$15at = 2160$，化简可得$at = 144$。
$15$名工人开工$x$天加工的零件数为$15ax$个；$3$人外出培训后，剩下$(15 - 3)=12$名工人，每人每天加工$(a + 2)$个零件，剩下$(t - x)$天加工的零件数为$12(a + 2)(t - x)$个。
因为剩下的工人每人每天只多加工$2$个零件不能按期完成这次任务，所以$15ax+12(a + 2)(t - x)＜2160$。
- **步骤二：对不等式进行化简**
将$15ax+12(a + 2)(t - x)＜2160$展开可得：
$15ax+12at-12ax + 24t-24x＜2160$
合并同类项得：$3ax+12at + 24t-24x＜2160$
把$15at = 2160$（即$at = 144$）代入上式可得：
$3ax+12\times144 + 24t-24x＜2160$
$3ax+1728 + 24t-24x＜2160$
$3ax+24t-24x＜432$
- **步骤三：进一步分析并求解$a$的取值范围**
因为$at = 144$，$t=\frac{144}{a}$，且$x$，$t$为正整数。
我们可以从$a$的取值去尝试，当$a = 9$时，$t=\frac{144}{9}=16$。
假设$x = 1$，则$15\times9\times1+12\times(9 + 2)\times(16 - 1)=135+12\times11\times15=135 + 1980=2115＜2160$，满足不能按期完成任务。
当$a = 8$时，$t=\frac{144}{8}=18$。
假设$x = 1$，$15\times8\times1+12\times(8 + 2)\times(18 - 1)=120+12\times10\times17=120 + 2040=2160$，不满足不能按期完成任务。
所以$a$的最小值为$9$。
【答案】：$9$
