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18. 到一个角的两边距离相等的点在______。
答案
这个角的平分线上
19. 一个三角形的三边长分别为$3$，$a$，$7$（$a$为整数），若它的周长是$4$的倍数，则$a =$______。
答案
$6$
20. 直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于______。
答案
$45^{\circ}$
21. 如图，在等腰直角三角形中，$AB = AC$，点$D$是斜边$BC$上的中点，点$E$，$F$分别为$AB$，$AC$上的点，且$DE⊥DF$。
(1)若设$BE = a$，$CF = b$，满足$\sqrt{a - 12} + |b - 5| = \sqrt{m - 2} + \sqrt{2 - m}$，求$BE$及$CF$的长；
(2)求证：$BE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$；
(3)在(1)的条件下，求$\triangle DEF$的面积。
(1)若设$BE = a$，$CF = b$，满足$\sqrt{a - 12} + |b - 5| = \sqrt{m - 2} + \sqrt{2 - m}$，求$BE$及$CF$的长；
(2)求证：$BE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$；
(3)在(1)的条件下，求$\triangle DEF$的面积。
答案
【解析】：
### $(1)$求$BE$及$CF$的长
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。
在$\sqrt{m - 2}+\sqrt{2 - m}$中，$m - 2\geq0$且$2 - m\geq0$，即$m\geq2$且$m\leq2$，所以$m = 2$。
那么$\sqrt{a - 12}+\vert b - 5\vert=\sqrt{2 - 2}+\sqrt{2 - 2}=0$。
因为$\sqrt{a - 12}\geq0$，$\vert b - 5\vert\geq0$，要使$\sqrt{a - 12}+\vert b - 5\vert = 0$，则$\sqrt{a - 12}=0$且$\vert b - 5\vert = 0$。
由$\sqrt{a - 12}=0$，可得$a-12 = 0$，解得$a = 12$；由$\vert b - 5\vert = 0$，可得$b - 5 = 0$，解得$b = 5$。
所以$BE=a = 12$，$CF=b = 5$。
### $(2)$证明$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$
连接$AD$。
因为$AB = AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$D$是$BC$中点，所以$AD = BD = CD$，$\angle B=\angle C=\angle BAD=\angle CAD = 45^{\circ}$，$AD\perp BC$。
又因为$DE\perp DF$，所以$\angle ADE+\angle ADF = 90^{\circ}$，$\angle BDE+\angle ADE = 90^{\circ}$，则$\angle BDE=\angle ADF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle DAF\\BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\end{array}\right.$，所以$\triangle BDE\cong\triangle ADF(ASA)$，则$BE = AF$。
同理可证$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，则$AE = CF$。
在$Rt\triangle AEF$中，$EF^{2}=AE^{2}+AF^{2}$，把$BE = AF$，$AE = CF$代入可得$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
### $(3)$求$\triangle DEF$的面积
由$(1)$知$BE = 12$，$CF = 5$，由$(2)$知$AE = CF = 5$，$AF = BE = 12$。
所以$AB=AC=AE + BE=5 + 12 = 17$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\times AC=\frac{1}{2}\times17\times17=\frac{289}{2}$。
$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE\times AF=\frac{1}{2}\times5\times12 = 30$。
因为$\triangle BDE\cong\triangle ADF$，$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，所以$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ADF}$，$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDF}$。
$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEF}$
$=\frac{1}{2}\times\frac{289}{2}-30=\frac{289 - 120}{4}=\frac{169}{4}$。
【答案】：
$(1)$$BE = 12$，$CF = 5$；
$(2)$证明过程如上述解析；
$(3)$$\frac{169}{4}$。
### $(1)$求$BE$及$CF$的长
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。
在$\sqrt{m - 2}+\sqrt{2 - m}$中，$m - 2\geq0$且$2 - m\geq0$，即$m\geq2$且$m\leq2$，所以$m = 2$。
那么$\sqrt{a - 12}+\vert b - 5\vert=\sqrt{2 - 2}+\sqrt{2 - 2}=0$。
因为$\sqrt{a - 12}\geq0$，$\vert b - 5\vert\geq0$，要使$\sqrt{a - 12}+\vert b - 5\vert = 0$，则$\sqrt{a - 12}=0$且$\vert b - 5\vert = 0$。
由$\sqrt{a - 12}=0$，可得$a-12 = 0$，解得$a = 12$；由$\vert b - 5\vert = 0$，可得$b - 5 = 0$，解得$b = 5$。
所以$BE=a = 12$，$CF=b = 5$。
### $(2)$证明$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$
连接$AD$。
因为$AB = AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$D$是$BC$中点，所以$AD = BD = CD$，$\angle B=\angle C=\angle BAD=\angle CAD = 45^{\circ}$，$AD\perp BC$。
又因为$DE\perp DF$，所以$\angle ADE+\angle ADF = 90^{\circ}$，$\angle BDE+\angle ADE = 90^{\circ}$，则$\angle BDE=\angle ADF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle DAF\\BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\end{array}\right.$，所以$\triangle BDE\cong\triangle ADF(ASA)$，则$BE = AF$。
同理可证$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，则$AE = CF$。
在$Rt\triangle AEF$中，$EF^{2}=AE^{2}+AF^{2}$，把$BE = AF$，$AE = CF$代入可得$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
### $(3)$求$\triangle DEF$的面积
由$(1)$知$BE = 12$，$CF = 5$，由$(2)$知$AE = CF = 5$，$AF = BE = 12$。
所以$AB=AC=AE + BE=5 + 12 = 17$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\times AC=\frac{1}{2}\times17\times17=\frac{289}{2}$。
$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE\times AF=\frac{1}{2}\times5\times12 = 30$。
因为$\triangle BDE\cong\triangle ADF$，$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，所以$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ADF}$，$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDF}$。
$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEF}$
$=\frac{1}{2}\times\frac{289}{2}-30=\frac{289 - 120}{4}=\frac{169}{4}$。
【答案】：
$(1)$$BE = 12$，$CF = 5$；
$(2)$证明过程如上述解析；
$(3)$$\frac{169}{4}$。
