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5.兴趣小组的同学要测量树$AB$的高度.在阳光下,一名同学测得一根$1$米长的竹竿的影长为$0.4$米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长$DE$为$0.2$米,一级台阶高$CD$为$0.3$米,示意图如图所示.若此时落在地面上的影长$BC$为$4.4$米,则树高为(
A.$11.5$米
B.$11.75$米
C.$11.8$米
D.$12.25$米
C
). A.$11.5$米
B.$11.75$米
C.$11.8$米
D.$12.25$米
答案
C
解析
由题意，同一时刻太阳光线平行，物体高度与影长成正比。竹竿高1米，影长0.4米，比例为$1:0.4 = 2.5$（即高度是影长的2.5倍）。
树影分为地面$BC=4.4$米和台阶上$DE=0.2$米。过$E$作$AB$垂线交$AB$于$F$，则$EF=BC + DE=4.4 + 0.2=4.6$米（水平距离），$BF=CD=0.3$米（台阶高度）。设树高$AB=h$，则$AF=h - 0.3$。
由相似比，$AF=2.5×EF$，即$h - 0.3=2.5×4.6$，解得$h=11.8$米。
树影分为地面$BC=4.4$米和台阶上$DE=0.2$米。过$E$作$AB$垂线交$AB$于$F$，则$EF=BC + DE=4.4 + 0.2=4.6$米（水平距离），$BF=CD=0.3$米（台阶高度）。设树高$AB=h$，则$AF=h - 0.3$。
由相似比，$AF=2.5×EF$，即$h - 0.3=2.5×4.6$，解得$h=11.8$米。
6.已知线段$a=1$,$b=\sqrt{2}$,$c=\sqrt{3}$,$d=\sqrt{6}$,则这$4$条线段
成
比例线段(填"成"或"不成").答案
成
解析
要判断四条线段是否成比例，需要验证是否存在一种排列顺序，使得第一条与第二条的比等于第三条与第四条的比，或第一条与第二条的比等于第四条与第三条的比等形式。
将$a$,$b$,$c$,$d$按照大小排序为：$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{3}$，$d=\sqrt{6}$。
计算相邻两条线段的比：
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{c}{d} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，所以这四条线段成比例线段。
将$a$,$b$,$c$,$d$按照大小排序为：$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{3}$，$d=\sqrt{6}$。
计算相邻两条线段的比：
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{c}{d} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，所以这四条线段成比例线段。
7.如图,已知正方形网格中的三角形①②③,与$\triangle ABC$相似的三角形有
②
(填写序号). 答案
②
解析
设每个小正方形边长为1，计算△ABC的三边长：AC=√(1²+2²)=√5，BC=√(2²+1²)=√5，AB=√(3²+1²)=√10，三边比为√5:√5:√10=1:1:√2；三角形②的三边长为√2:√2:2，三边比为1:1:√2，与△ABC三边对应成比例，故相似。
8.在$□ ABCD$中,点$E$是$AD$上一点,且点$E$将$AD$分为$2:3$的两部分,连接$BE$,$AC$,交点为点$F$,则$S_{\triangle AEF}:S_{\triangle CBF}=$
4:25或9:25
.答案
$4:25$或$9:25$
解析
在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD=BC$。点$E$将$AD$分为$2:3$的两部分，分两种情况：
1. 若$AE:ED=2:3$，则$AE=\frac{2}{5}AD$，$\because AD=BC$，$\therefore AE:BC=2:5$。
又$\because AD// BC$，$\therefore \triangle AEF\sim\triangle CBF$（AA相似），相似比为$2:5$，面积比为$(2:5)^2=4:25$。
2. 若$AE:ED=3:2$，则$AE=\frac{3}{5}AD$，$\therefore AE:BC=3:5$，相似比为$3:5$，面积比为$(3:5)^2=9:25$。
1. 若$AE:ED=2:3$，则$AE=\frac{2}{5}AD$，$\because AD=BC$，$\therefore AE:BC=2:5$。
又$\because AD// BC$，$\therefore \triangle AEF\sim\triangle CBF$（AA相似），相似比为$2:5$，面积比为$(2:5)^2=4:25$。
2. 若$AE:ED=3:2$，则$AE=\frac{3}{5}AD$，$\therefore AE:BC=3:5$，相似比为$3:5$，面积比为$(3:5)^2=9:25$。
9.如图,在矩形$ABCD$中,点$E$是$BC$的中点,且$DE\perp AC$于点$O$,则$\frac{CD}{AD}=$
√2/2
. 答案
√2/2
解析
设AD=a，CD=b，矩形ABCD中，AD=BC=a，CD=AB=b，∠ADC=∠DCE=90°。E为BC中点，故CE=BC/2=a/2。
∵DE⊥AC，∴∠DOC=90°，则∠OCD+∠ODC=90°。
又∠ADC=90°，∴∠OCD+∠DAC=90°，故∠DAC=∠EDC。
在△ADC和△DCE中，∠ADC=∠DCE=90°，∠DAC=∠EDC，∴△ADC∽△DCE。
由相似三角形对应边成比例得：AD/DC=DC/CE，即a/b=b/(a/2)。
整理得a²=2b²，∴a/b=√2，故CD/AD=b/a=√2/2。
∵DE⊥AC，∴∠DOC=90°，则∠OCD+∠ODC=90°。
又∠ADC=90°，∴∠OCD+∠DAC=90°，故∠DAC=∠EDC。
在△ADC和△DCE中，∠ADC=∠DCE=90°，∠DAC=∠EDC，∴△ADC∽△DCE。
由相似三角形对应边成比例得：AD/DC=DC/CE，即a/b=b/(a/2)。
整理得a²=2b²，∴a/b=√2，故CD/AD=b/a=√2/2。
10.如图,在$\triangle ABC$中,$D$在$AC$边上,$AD:DC=1:2$,$O$是$BD$的中点,连接$AO$并延长,交$BC$于点$E$,则$BE:EC=$
1:3
. 答案
1:3
解析
过点D作DF//AE交BC于F。
∵DF//AE，AD:DC=1:2，
∴由平行线分线段成比例定理得EF:FC=AD:DC=1:2。
∵O是BD中点，DF//AE，
∴在△BDF中，OE//DF且BO=OD，
∴BE=EF（平行线分线段成比例定理推论）。
设BE=EF=x，则FC=2x，
∴EC=EF+FC=x+2x=3x，
∴BE:EC=x:3x=1:3。
∵DF//AE，AD:DC=1:2，
∴由平行线分线段成比例定理得EF:FC=AD:DC=1:2。
∵O是BD中点，DF//AE，
∴在△BDF中，OE//DF且BO=OD，
∴BE=EF（平行线分线段成比例定理推论）。
设BE=EF=x，则FC=2x，
∴EC=EF+FC=x+2x=3x，
∴BE:EC=x:3x=1:3。
