5.如图$,AD$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的平分线$,DE \bot AB$于点$E$,$S_{\triangle ABC}=7$,$DE=2$,$AB=4$,则$AC$的长是
().


A.3
B.4
C.6
D.5

A

过点 $ D $ 作 $ DF \perp AC $，交 $ AC $ 于点 $ F $。
由于 $ AD $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线，且 $ DE \perp AB $，$ DF \perp AC $，
根据角平分线的性质，有 $ DE = DF = 2 $。
已知三角形 $ ABC $ 的面积 $ S_{\triangle ABC} = 7 $，且 $ AB = 4 $。
三角形 $ ABC $ 的面积可以拆分为三角形 $ ABD $ 和三角形 $ ACD $ 的面积之和，
即 $ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} $。
根据三角形面积公式，有：
$ S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4 $，
$ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × AC × 2 = AC $。
将上述两个面积相加，得到：
$ S_{\triangle ABC} = 4 + AC = 7 $。
解这个方程，得到 $ AC = 3 $。

6.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于点$O$,则$\angle AOC+\angle DOB=$.

180°

因为∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，∠DOB = ∠DOC - ∠BOC，且∠AOB = 90°，∠DOC = 90°，所以∠AOC + ∠DOB = (∠AOB + ∠BOC) + (∠DOC - ∠BOC) = ∠AOB + ∠DOC = 90° + 90° = 180°。

7.如图$,\angle B=\angle D=90^{\circ}$,若用“$HL$”证明$\triangle ABC \cong \triangle ADC$,则还需补充$1$个条件.补充的这个条件为.

BC=DC（或AB=AD）

要使用“HL”（斜边、直角边）定理证明两个直角三角形全等，需已知一组直角边和斜边对应相等。在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B=∠D=90°，公共斜边AC=AC，因此还需补充一组直角边相等，即BC=DC或AB=AD。

8.将长方形纸片$ABCD$的一角沿$AE$折叠,使点$D$落在点$D'$处,得到如图所示的图形.若$\angle CED'=56^{\circ}$,则$\angle D'AB=$.

34

∵四边形ABCD是长方形，∴∠D=90°，CD为直线（平角180°）。
沿AE折叠D→D'，则△ADE≌△AD'E，∴∠AED=∠AED'（设为β），∠DAE=∠D'AE（设为α）。
已知∠CED'=56°，∵∠AED+∠AEC=180°（平角），且∠AEC=∠AED'+∠CED'=β+56°，
∴β+(β+56°)=180°，解得2β=124°，β=62°。
在Rt△ADE中，∠DAE=90°-∠AED=90°-62°=28°，即α=28°。
∵∠DAE=∠D'AE=28°，∴∠DAD'=2α=56°。
∵∠DAB=90°（长方形内角），∴∠D'AB=∠DAB-∠DAD'=90°-56°=34°。

9.如图,在$\triangle ABC$中$,AD$为$\angle BAC$的平分线$,DE \bot AB$于点$E$,$DF \bot AC$于点$F$,$\triangle ABC$的面积是$45 cm^2$,$AB=16 cm$,$AC=14 cm$,则$DE=$.

$3 cm$

由于 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，且 $DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$，根据角平分线的性质，可知 $DE = DF$。
接下来，考虑 $\triangle ABC$ 的面积。
根据题目，$\triangle ABC$ 的面积是 $45 cm^2$，可以表示为：
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × AC × DF$
由于 $DE = DF$，可以将上式简化为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × (AB + AC) × DE$
$= \frac{1}{2} × (16+ 14) × DE$
$= \frac{1}{2} × 30 × DE$
$= 45 cm^2$
解这个方程，得到：
$DE = 3 cm$

10.如图,在四边形$ABCD$中$,\angle A=90^{\circ}$,$AD=4$,连接$BD$,$BD \bot DC$,$\angle ADB=\angle C$.若$P$是$BC$边上的一动点,则$DP$长的最小值为.

·46·

4

∵∠A=90°，∴DA⊥AB，AD=4（D到AB的距离为4）。
∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°。
∵∠ADB=∠C，∠A=∠BDC=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠C=∠DBC（三角形内角和），即BD平分∠ABC。
∵P是BC上动点，DP最小值为D到BC的垂线段长（垂线段最短）。
由角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等，D在∠ABC平分线上，D到AB距离=D到BC距离，
∴DP最小值=DA=4。