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1.正方体的棱长为$x$,表面积为$y$,则$y$与$x$之间的函数关系式为(
A.$y=\frac{1}{6}x$
B.$y=6x$
C.$y=6x^2$
D.$y=\frac{6}{x}$
C
).A.$y=\frac{1}{6}x$
B.$y=6x$
C.$y=6x^2$
D.$y=\frac{6}{x}$
答案
C
解析
正方体的一个面的面积为 $x × x = x^{2}$，
正方体有6个面，所以表面积 $y = 6x^{2}$。
根据这个关系，与选项进行对比，可以确定答案为C。
正方体有6个面，所以表面积 $y = 6x^{2}$。
根据这个关系，与选项进行对比，可以确定答案为C。
2.矩形的周长为$12\mathrm {cm}$,设其一边长为$x\mathrm {cm}$,面积为$y\mathrm {cm}^2$,则$y$与$x$的函数关系式及其自变量$x$的取值范围均正确的是(
A.$y=-x^2+6x(3＜x＜6)$
B.$y=-x^2+12x(0＜x＜12)$
C.$y=-x^2+12x(6＜x＜12)$
D.$y=-x^2+6x(0＜x＜6)$
D
).A.$y=-x^2+6x(3＜x＜6)$
B.$y=-x^2+12x(0＜x＜12)$
C.$y=-x^2+12x(6＜x＜12)$
D.$y=-x^2+6x(0＜x＜6)$
答案
D
解析
设矩形的一边长为 $x$ cm，则另一边长为 $\frac{12}{2}-x = 6 - x$ cm（因为周长为 $12$ cm，两边之和为 $6$ cm）。
面积 $y = x × (6 - x) = -x^2 + 6x$。
由于矩形的边长必须为正数，所以 $x ＞ 0$ 且 $6 - x ＞ 0$，即 $0 ＜ x ＜ 6$。
因此，函数关系式为 $y = -x^2 + 6x$，自变量 $x$ 的取值范围为 $0 ＜ x ＜ 6$。
面积 $y = x × (6 - x) = -x^2 + 6x$。
由于矩形的边长必须为正数，所以 $x ＞ 0$ 且 $6 - x ＞ 0$，即 $0 ＜ x ＜ 6$。
因此，函数关系式为 $y = -x^2 + 6x$，自变量 $x$ 的取值范围为 $0 ＜ x ＜ 6$。
3.在体育课上,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度$y(\mathrm{m})$与水平距离$x(\mathrm{m})$之间满足函数解析式$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$,由此可知该生此次实心球训练的成绩为(
A.$6\mathrm {m}$
B.$8\mathrm {m}$
C.$10\mathrm {m}$
D.$12\mathrm {m}$
C
).A.$6\mathrm {m}$
B.$8\mathrm {m}$
C.$10\mathrm {m}$
D.$12\mathrm {m}$
答案
C
解析
实心球的成绩即当实心球落地时水平距离$x$的值，此时高度$y = 0$。
将$y = 0$代入方程$y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$，得：
$0 = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$，
两边同乘12，化简为：
$0 = -x^2 + 8x + 20$，
即：
$x^2 - 8x - 20 = 0$，
解该一元二次方程，得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$，
解得：$x = 10$或$x = -2$（舍去负值）。
因此，实心球的成绩为$x = 10\mathrm{m}$。
将$y = 0$代入方程$y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$，得：
$0 = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$，
两边同乘12，化简为：
$0 = -x^2 + 8x + 20$，
即：
$x^2 - 8x - 20 = 0$，
解该一元二次方程，得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$，
解得：$x = 10$或$x = -2$（舍去负值）。
因此，实心球的成绩为$x = 10\mathrm{m}$。
4.如图,有一座抛物线形拱桥,当水位在$AB$位置时,拱桥顶离水面$2\mathrm {m}$,水面宽$4\mathrm {m}$.若水面下降$1\mathrm {m}$,则水面宽$CD$为(
A.$5\mathrm {m}$
B.$6\mathrm {m}$
C.$\sqrt{6}\mathrm {m}$
D.$2\sqrt{6}\mathrm {m}$
D
).A.$5\mathrm {m}$
B.$6\mathrm {m}$
C.$\sqrt{6}\mathrm {m}$
D.$2\sqrt{6}\mathrm {m}$
答案
D
解析
以抛物线顶点O为原点，对称轴为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为$y=ax^2$。
当水位在AB时，水面宽4m，即点B(2,-2)，代入得$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，故解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降1m后，水位为$y=-3$，代入解析式得$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，水面宽$CD=2\sqrt{6}$m。
当水位在AB时，水面宽4m，即点B(2,-2)，代入得$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，故解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降1m后，水位为$y=-3$，代入解析式得$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，水面宽$CD=2\sqrt{6}$m。
5.某产品进货单价为$90$元,按$100$元一件出售时,能售出$500$件;若每件涨价$1$元,则销售量就减少$10$件.该产品能获得的最大利润为(
A.$5000$元
B.$9000$元
C.$8000$元
D.$6000$元
B
).A.$5000$元
B.$9000$元
C.$8000$元
D.$6000$元
答案
B
解析
设每件涨价$x$元，则售价为$(100 + x)$元，销售量为$(500 - 10x)$件。
单件利润为$(100 + x - 90) = (10 + x)$元，总利润$y$为：
$y = (10 + x)(500 - 10x) = 5000 + 400x - 10x^2$。
化简为顶点式：$y = -10(x - 20)^2 + 9000$。
当$x = 20$时，$y$取得最大值$9000$元。
单件利润为$(100 + x - 90) = (10 + x)$元，总利润$y$为：
$y = (10 + x)(500 - 10x) = 5000 + 400x - 10x^2$。
化简为顶点式：$y = -10(x - 20)^2 + 9000$。
当$x = 20$时，$y$取得最大值$9000$元。
6.函数$y=-x^2+6x+5(0\leq x\leq6)$的最大值为
14
,最小值为5
.答案
最大值框填14，最小值框填5（按题目要求直接填写数值）。
解析
函数 $ y = -x^2 + 6x + 5 $ 是二次函数，开口向下，对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 × (-1)} = 3 $。
在区间 $ 0 \leq x \leq 6 $ 内，顶点 $ x = 3 $ 处取得最大值：
$ y = -3^2 + 6 × 3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14 $。
在端点 $ x = 0 $ 和 $ x = 6 $ 处分别计算：
当 $ x = 0 $ 时，$ y = -0^2 + 6 × 0 + 5 = 5 $；
当 $ x = 6 $ 时，$ y = -6^2 + 6 × 6 + 5 = -36 + 36 + 5 = 5 $。
因此，最小值为 $ 5 $。
7.某公司10月份的产值是100万元,如果该公司第4季度每个月产值的增长率相同,都为$x(x＞0)$,12月份的产值为$y$万元,那么$y$关于$x$的函数解析式为
$y = 100(1 + x)^{2}$
.答案
$y = 100(1 + x)^{2}$
解析
10 月份产值为 100 万元，因为每个月的增长率都为$x$。则 11 月份产值是在 10 月份产值的基础上增长$x$，即 11 月份产值为$100(1 + x)$万元；12 月份产值是在 11 月份产值的基础上增长$x$，所以 12 月份产值$y = 100(1 + x)(1 + x)=100(1 + x)^{2}$。
