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18. (6分)如图,已知在△ABC中,∠CAB=60°,请用尺规作图法,在△ABC内部找一点P,使得PB=PA,且∠PAC=30°.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
①以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AC$于点$D$、$E$。
②分别以点$D$、$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧在$\angle CAB$内部相交于点$F$，连接$AF$，则$\angle FAB = \angle FAC = 30^{\circ}$，此时$AF$平分$\angle CAB$。
③作$AB$的垂直平分线$MN$，交$AF$于点$P$，则点$P$即为所求作点。
理由如下：
因为$MN$垂直平分$AB$，所以$PA = PB$，又因为$\angle PAC = 30^{\circ}$，满足题目要求。
②分别以点$D$、$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧在$\angle CAB$内部相交于点$F$，连接$AF$，则$\angle FAB = \angle FAC = 30^{\circ}$，此时$AF$平分$\angle CAB$。
③作$AB$的垂直平分线$MN$，交$AF$于点$P$，则点$P$即为所求作点。
理由如下：
因为$MN$垂直平分$AB$，所以$PA = PB$，又因为$\angle PAC = 30^{\circ}$，满足题目要求。
19. (8分)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB于点M,DN⊥AC,交AC的延长线于点N.求证:BM=CN.
答案
证明：
∵AD平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC,\\ DM=DN,\end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。
∴BM=CN（全等三角形的对应边相等）。
∵AD平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC,\\ DM=DN,\end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。
∴BM=CN（全等三角形的对应边相等）。
20. (8分)如图所示,已知△ABC为等边三角形,点D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.
(1)求证:AD=AE;
(2)判断△ADE的形状,并加以证明.
(1)求证:AD=AE;
(2)判断△ADE的形状,并加以证明.
答案
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
∵点D为BC延长线上一点，∴∠ACD=180°-∠ACB=120°．
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACD/2=60°，∴∠ABC=∠ACE=60°．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．
(2)△ADE为等边三角形．证明：
∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE．
∵∠BAC=60°，即∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CAD，
∠CAE=∠CAD+∠DAE，∴∠60°+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠DAE=60°．
∵AD=AE，∴△ADE为等边三角形．
∵点D为BC延长线上一点，∴∠ACD=180°-∠ACB=120°．
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACD/2=60°，∴∠ABC=∠ACE=60°．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．
(2)△ADE为等边三角形．证明：
∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE．
∵∠BAC=60°，即∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CAD，
∠CAE=∠CAD+∠DAE，∴∠60°+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠DAE=60°．
∵AD=AE，∴△ADE为等边三角形．
