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9. 马拉松赛是全民健身的热门项目,全程的总赛程约为$42 km$,在同一场比赛中,选手甲的平均速度是选手乙的$1.2$倍,最终甲冲刺终点的时间比乙提早$28 min$.若乙的平均速度为$x km/h$,则可列方程为 (
A.$\frac{42}{1.2x}-\frac{42}{x}=28$
B.$\frac{42}{1.2x}-\frac{42}{x}=\frac{28}{60}$
C.$\frac{42}{x}-\frac{42}{1.2x}=28$
D.$\frac{42}{x}-\frac{42}{1.2x}=\frac{28}{60}$
D
)A.$\frac{42}{1.2x}-\frac{42}{x}=28$
B.$\frac{42}{1.2x}-\frac{42}{x}=\frac{28}{60}$
C.$\frac{42}{x}-\frac{42}{1.2x}=28$
D.$\frac{42}{x}-\frac{42}{1.2x}=\frac{28}{60}$
答案
D
解析
乙的平均速度为$x km/h$，则甲的平均速度为$1.2x km/h$。根据时间=路程÷速度，乙跑完全程的时间为$\frac{42}{x}h$，甲跑完全程的时间为$\frac{42}{1.2x}h$。已知甲比乙提早$28min$，$28min=\frac{28}{60}h$，所以乙的时间减去甲的时间等于$\frac{28}{60}h$，可列方程$\frac{42}{x}-\frac{42}{1.2x}=\frac{28}{60}$。
10. 若关于$x$的分式方程$\frac{a - 1}{x^{2}-4}-\frac{2}{x + 2}=0$的解是负数,则$a$的取值范围是 (
A.$a ＜ - 3$
B.$a ＜ 3$
C.$a ＜ - 3$且$a≠ - 7$
D.$a ＜ 3$且$a≠1$
C
)A.$a ＜ - 3$
B.$a ＜ 3$
C.$a ＜ - 3$且$a≠ - 7$
D.$a ＜ 3$且$a≠1$
答案
C
解析
方程两边乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得$a - 1 - 2(x - 2) = 0$，化简得$a + 3 - 2x = 0$，解得$x = \frac{a + 3}{2}$。
∵方程的解是负数，∴$\frac{a + 3}{2} ＜ 0$，解得$a ＜ -3$。
∵分式方程分母不为$0$，即$x \neq \pm 2$。当$x = -2$时，$\frac{a + 3}{2} = -2$，解得$a = -7$（增根，舍去）；当$x = 2$时，$\frac{a + 3}{2} = 2$，解得$a = 1$（$a = 1$不满足$a ＜ -3$，无需考虑）。
综上，$a ＜ -3$且$a \neq -7$。
∵方程的解是负数，∴$\frac{a + 3}{2} ＜ 0$，解得$a ＜ -3$。
∵分式方程分母不为$0$，即$x \neq \pm 2$。当$x = -2$时，$\frac{a + 3}{2} = -2$，解得$a = -7$（增根，舍去）；当$x = 2$时，$\frac{a + 3}{2} = 2$，解得$a = 1$（$a = 1$不满足$a ＜ -3$，无需考虑）。
综上，$a ＜ -3$且$a \neq -7$。
11. 若$(a - 1)^{0}+3(a - 4)^{-2}$有意义,则$a$的取值范围是
$a \neq 1$且$a \neq 4$
.答案
【解析】：要使$(a - 1)^{0} + 3(a - 4)^{-2}$有意义，需满足：
1. 零指数幂的底数不为$0$：$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$；
2. 负整数指数幂的底数不为$0$：$a - 4 \neq 0$，即$a \neq 4$。
综上，$a$的取值范围是$a \neq 1$且$a \neq 4$。
【答案】：$a \neq 1$且$a \neq 4$
1. 零指数幂的底数不为$0$：$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$；
2. 负整数指数幂的底数不为$0$：$a - 4 \neq 0$，即$a \neq 4$。
综上，$a$的取值范围是$a \neq 1$且$a \neq 4$。
【答案】：$a \neq 1$且$a \neq 4$
解析
本题可根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则来确定$a$的取值范围。
零指数幂的运算法则为$a^0 = 1$（$a\neq0$），在$(a - 1)^{0}$中，底数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
负整数指数幂的运算法则为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），在$3(a - 4)^{-2}$中，底数$a - 4\neq0$，即$a\neq4$。
综合以上两个条件，要使$(a - 1)^{0}+3(a - 4)^{-2}$有意义，则$a$的取值范围是$a\neq1$且$a\neq4$。
零指数幂的运算法则为$a^0 = 1$（$a\neq0$），在$(a - 1)^{0}$中，底数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
负整数指数幂的运算法则为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），在$3(a - 4)^{-2}$中，底数$a - 4\neq0$，即$a\neq4$。
综合以上两个条件，要使$(a - 1)^{0}+3(a - 4)^{-2}$有意义，则$a$的取值范围是$a\neq1$且$a\neq4$。
12. 若关于$x$的方程$\frac{x + 1}{x - 1}+2=\frac{a}{x - 1}$无解,则$a$的值是
2
.答案
2
解析
方程两边同乘$x - 1$得：$x + 1 + 2(x - 1) = a$，化简得$3x - 1 = a$，解得$x = \frac{a + 1}{3}$。因为原方程无解，所以整式方程的解为增根$x = 1$。将$x = 1$代入$x = \frac{a + 1}{3}$，得$\frac{a + 1}{3} = 1$，解得$a = 2$。
13. 已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$,则分式$\frac{2a - b}{a + b}$的值等于
$\frac{4}{5}$
.答案
【解析】：设$a = 3k$，$b = 2k$（$k \neq 0$），则$\frac{2a - b}{a + b} = \frac{2×3k - 2k}{3k + 2k} = \frac{6k - 2k}{5k} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$
【答案】：$\frac{4}{5}$
【答案】：$\frac{4}{5}$
解析
由已知条件$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，可得$2a=3b$或$a=\frac{3}{2}b$。
将$a=\frac{3}{2}b$代入分式$\frac{2a - b}{a + b}$，得：
$\frac{2 × \frac{3}{2}b - b}{\frac{3}{2}b + b} = \frac{3b - b}{\frac{3}{2}b + \frac{2}{2}b} = \frac{2b}{\frac{5}{2}b} = \frac{4}{5}$。
将$a=\frac{3}{2}b$代入分式$\frac{2a - b}{a + b}$，得：
$\frac{2 × \frac{3}{2}b - b}{\frac{3}{2}b + b} = \frac{3b - b}{\frac{3}{2}b + \frac{2}{2}b} = \frac{2b}{\frac{5}{2}b} = \frac{4}{5}$。
14. 为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为
300
.答案
$300$
解析
设改造后每天生产的产品件数为$x$件，则改造前每天生产的产品件数为$(x - 100)$件。
根据题意，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，可列方程：
$\frac{600}{x} = \frac{400}{x - 100}$，
方程两边同时乘以$x(x-100)$得：$600(x - 100) = 400x$，
展开得：$600x - 60000 = 400x$，
移项并合并同类项得：$200x = 60000$，
解得：$x = 300$，
经检验，$x = 300$是原方程的解且符合题意。
根据题意，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，可列方程：
$\frac{600}{x} = \frac{400}{x - 100}$，
方程两边同时乘以$x(x-100)$得：$600(x - 100) = 400x$，
展开得：$600x - 60000 = 400x$，
移项并合并同类项得：$200x = 60000$，
解得：$x = 300$，
经检验，$x = 300$是原方程的解且符合题意。
15. 已知$2+\frac{2}{3}=2^{2}×\frac{2}{3},3+\frac{3}{8}=3^{2}×\frac{3}{8},4+\frac{4}{15}=4^{2}×\frac{4}{15},5+\frac{5}{24}=5^{2}×\frac{5}{24},·s$,若$15+\frac{b}{a}=15^{2}×\frac{b}{a}$符合前面式子的规律,则$a + b=$
239
.答案
239
解析
观察已知等式：$2+\frac{2}{3}=2^{2}×\frac{2}{3}$，$3+\frac{3}{8}=3^{2}×\frac{3}{8}$，$4+\frac{4}{15}=4^{2}×\frac{4}{15}$，$5+\frac{5}{24}=5^{2}×\frac{5}{24}$，规律为：整数$n$与分数$\frac{n}{n^2 - 1}$的和等于$n^2$乘以该分数，即$n+\frac{n}{n^2 - 1}=n^2×\frac{n}{n^2 - 1}$。
对于$15+\frac{b}{a}=15^{2}×\frac{b}{a}$，可得$n=15$，则$b=n=15$，分母$a=n^2 - 1=15^2 - 1=224$。
故$a=224$，$b=15$，$a + b=224 + 15=239$。
对于$15+\frac{b}{a}=15^{2}×\frac{b}{a}$，可得$n=15$，则$b=n=15$，分母$a=n^2 - 1=15^2 - 1=224$。
故$a=224$，$b=15$，$a + b=224 + 15=239$。
16. (6分)计算：
(1)$(-\frac{1}{4})^{-1}+(-2)^{2}×2025^{0}-(\frac{1}{3})^{-2}$；
(2)$(1-\frac{a}{a + 2})÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+4a + 4}$.
(1)$(-\frac{1}{4})^{-1}+(-2)^{2}×2025^{0}-(\frac{1}{3})^{-2}$；
(2)$(1-\frac{a}{a + 2})÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+4a + 4}$.
答案
(1) -9；(2) $\frac{2}{a - 2}$
解析
(1)
$\begin{aligned}(-\frac{1}{4})^{-1}+(-2)^{2}×2025^{0}-(\frac{1}{3})^{-2}&=-4 + 4×1 - 9\\&=-4 + 4 - 9\\&=-9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(1-\frac{a}{a + 2})÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+4a + 4}&=(\frac{a + 2 - a}{a + 2})×\frac{(a + 2)^2}{(a + 2)(a - 2)}\\&=\frac{2}{a + 2}×\frac{(a + 2)^2}{(a + 2)(a - 2)}\\&=\frac{2}{a - 2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}(-\frac{1}{4})^{-1}+(-2)^{2}×2025^{0}-(\frac{1}{3})^{-2}&=-4 + 4×1 - 9\\&=-4 + 4 - 9\\&=-9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(1-\frac{a}{a + 2})÷\frac{a^{2}-4}{a^{2}+4a + 4}&=(\frac{a + 2 - a}{a + 2})×\frac{(a + 2)^2}{(a + 2)(a - 2)}\\&=\frac{2}{a + 2}×\frac{(a + 2)^2}{(a + 2)(a - 2)}\\&=\frac{2}{a - 2}\end{aligned}$
