8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$AOCB$是菱形，$\tan ∠ AOC = \dfrac{4}{3}$，且点$A$落在双曲线$y = \dfrac{3}{x}$上，点$B$落在双曲线$y = \dfrac{k}{x}$上，则$k$的值为.

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设点A坐标为(a,b)，因点A在双曲线y=3/x上，故ab=3。
由tan∠AOC=4/3，得b/a=4/3，即b=(4/3)a。
代入ab=3，得a·(4/3)a=3，解得a=3/2（a＞0），则b=2，故A(3/2,2)。
OA=√[(3/2)²+2²]=5/2，菱形边长为5/2，故OC=5/2，点C(5/2,0)。
因AB=OC且AB//OC，点B坐标为(3/2+5/2,2)=(4,2)。
点B在y=k/x上，故k=4×2=8。

9. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$P$是$AB$延长线上的一点.
（1）实践操作：运用直尺和圆规作以$OP$为直径的半圆，交$\odot O$于点$C$（不写作法，保留作图痕迹），连接$AC$，$BC$，$PC$，并证明$∠ A = ∠ PCB$；
（2）在（1）的条件下，若$\tan ∠ PCB = \dfrac{1}{2}$，$PB = 3$，求$AB$的长.

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（1）作图痕迹略。连接OC，因OP为半圆直径，故∠OCP=90°，则∠PCB+∠OCB=90°。AB为⊙O直径，∠ACB=90°，则∠A+∠ABC=90°。又OB=OC，∠ABC=∠OCB，故∠A=∠PCB。
（2）由∠A=∠PCB，tan∠A=tan∠PCB=1/2。设BC=x，AC=2x，AB=√(AC²+BC²)=√5 x，半径OB=√5 x/2。∠P=∠P，∠PCB=∠A，故△PCB∽△PAC，得PB/PC=PC/PA=BC/AC=1/2。PB=3，PC=2PB=6。设OB=r，OP=r+3，在Rt△OCP中，OC²+PC²=OP²，即r²+6²=(r+3)²，解得r=9/2，AB=2r=9。

10. （2025 深圳中考改编）【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为该四边形的“伴随三角形”.
【问题解决】如图，在$△ ABC$中，$AC = BC$，$\cos B = \dfrac{3}{5}$，$AB = 5$.
（1）求$AC$的长及$\cos ∠ ACB$的值；
（2）若四边形$ABCD$是以$△ ABC$为伴随三角形的双等四边形，求$CD$的长.

（1）AC=25/6，cos∠ACB=7/25；（2）7/3

（1）过点C作CD⊥AB于D，∵AC=BC，AB=5，∴AD=BD=5/2。在Rt△BCD中，cosB=BD/BC=3/5，BD=5/2，∴BC=BD/(3/5)=25/6，即AC=25/6。∠ACB=180°-2∠B，cos∠ACB=cos(180°-2B)=-cos2B=-(2cos²B-1)=-(2×(9/25)-1)=7/25。
（2）以AC为腰向外作等腰△ACD，使AC所对的角∠ADC=∠ACB=α。AC=AD=25/6，由正弦定理CD=2ACcosα=2×(25/6)×(7/25)=7/3。同理以BC为腰作等腰三角形结果相同，故CD=7/3。