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1. [新情境] 如图，矩形 $ABCD$ 为一个正在倒水的水杯截面示意图，$AB = 15$ cm，杯中水面与 $CD$ 交于点 $E$，当水杯底面 $AD$ 与水平面的夹角为 $α$ 时，则杯中水的最大深度(即 $AF$ 的长)为(
A.$15\sinα$ cm
B.$15\cosα$ cm
C.$15\tanα$ cm
D.$\frac{15}{\sinα}$ cm
B
)A.$15\sinα$ cm
B.$15\cosα$ cm
C.$15\tanα$ cm
D.$\frac{15}{\sinα}$ cm
答案
B
解析
因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $AD // BC$，$AB = CD = 15$ cm，$∠ BAD = 90°$。当水杯底面 $AD$ 与水平面的夹角为 $α$ 时，水面 $BE$ 与 $AD$ 所成的角也为 $α$（两直线平行，同位角相等）。在直角三角形 $ABF$ 中，$∠ BAF = α$，$AB = 15$ cm，$AF$ 是直角边，$AB$ 是斜边。根据余弦的定义，$\cosα = \frac{AF}{AB}$，所以 $AF = AB · \cosα = 15\cosα$ cm。
2. [生活情境] 我国纸伞的制作工艺十分巧妙. 如图，两条伞骨所成的角 $∠ BAC = 130^{\circ}$，点 $D$ 在伞柄 $AP$ 上，$AE = AF = DE = DF = m$，则 $AD$ 的长度可表示为(
A.$m\sin65^{\circ}$
B.$m\cos65^{\circ}$
C.$2m\sin65^{\circ}$
D.$2m\cos65^{\circ}$
D
)A.$m\sin65^{\circ}$
B.$m\cos65^{\circ}$
C.$2m\sin65^{\circ}$
D.$2m\cos65^{\circ}$
答案
D
解析
连接EF，交AD于点O。
∵AE=AF=DE=DF=m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，∠EAO=∠FAO=1/2∠BAC=65°。
在Rt△AOE中，cos∠EAO=AO/AE，
∴AO=AE·cos65°=m·cos65°，
∴AD=2AO=2m·cos65°。
∵AE=AF=DE=DF=m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，∠EAO=∠FAO=1/2∠BAC=65°。
在Rt△AOE中，cos∠EAO=AO/AE，
∴AO=AE·cos65°=m·cos65°，
∴AD=2AO=2m·cos65°。
3. [学科融合] 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率 $n = \frac{\sin i}{\sin r}$($i$ 为入射角，$r$ 为折射角). 如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直 $AC$ 边的方向射出. 若 $i = 30^{\circ}$，$AB = 20$ cm，$BC = 5$ cm，则该玻璃透镜的折射率 $n$ 为(
A.$2$
B.$1.6$
C.$1.5$
D.$1.4$
A
)A.$2$
B.$1.6$
C.$1.5$
D.$1.4$
答案
A
解析
在直角△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AB=20cm，故sin∠A=BC/AB=5/20=1/4。因折射光线垂直AC，折射光线与AC夹角为90°，法线垂直AB，可得折射角r=∠A，即sin r=sin∠A=1/4。已知入射角i=30°，sin i=1/2。折射率n=sin i/sin r=(1/2)/(1/4)=2。
4. [新考法] 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为 $1$ 的半圆形量角器中，画一个直径为 $1$ 的圆，把刻度尺 $CA$ 的 $0$ 刻度固定在半圆的圆心 $O$ 处，刻度尺可以绕点 $O$ 旋转. 从图中所示的图尺可读出 $\cos∠ AOB$ 的值是(
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{7}{10}$
D.$\frac{1}{2}$
C
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{7}{10}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
设∠AOB=θ，过点A作AD⊥OB于D，在Rt△AOD中，cosθ=OD/OA。小圆直径为1，半径0.5，圆心在OB上且距O点0.5（因半圆半径1，小圆与半圆内切，圆心距=1-0.5=0.5）。A在小圆上，由余弦定理：0.5²=0.5²+OA²-2×0.5×OA×cosθ，化简得OA=cosθ。刻度尺OA长度即cosθ，图中OA=0.7=7/10，故cos∠AOB=7/10。
