例 1 已知关于 $ x $, $ y $ 的二元一次方程 $ 2x - 4y - my + 3m + 6 = 0 $,无论 $ m $ 取任何实数,该二元一次方程都有一组固定的解,则这组固定的解为.
分析:本题考查了二元一次方程解的概念,由于无论 $ m $ 取任何实数,该二元一次方程都有一组固定的解,说明该组固定的解与 $ m $ 的取值无关.
解:由题意,可知 $ 2x - 4y + 6 - m(y - 3) = 0 $.
$\because$ 无论 $ m $ 取任何实数,该二元一次方程都有一组固定的解,
$\therefore$ 可列方程组 $\begin{cases}2x - 4y + 6 = 0, \\ y - 3 = 0.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$

$\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$

【解析】
将原方程整理为：$2x - 4y + 6 - m(y - 3) = 0$。
因为无论$m$取任何实数，该二元一次方程都有一组固定的解，说明该解与$m$的取值无关，因此可列方程组：
$\begin{cases}2x - 4y + 6 = 0, \\ y - 3 = 0.\end{cases}$
解该方程组：
由$y - 3 = 0$解得$y = 3$，
将$y = 3$代入$2x - 4y + 6 = 0$，得$2x - 4×3 + 6 = 0$，解得$x = 3$。
即这组固定的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组
【点评】
本题通过将含参数的二元一次方程整理分离参数，利用解与参数无关的条件构建方程组求解，考查了二元一次方程解的概念，体现了消参思想，有助于提升对含参方程特殊解的分析能力。

变式:若 $\begin{cases}x = 1, \\ y = -1\end{cases}$ 是关于 $ x $, $ y $ 的方程 $ x - ay = 4 $ 的一组解,则 $ a $ 的值为 ______ .

3

【解析】
将$\begin{cases}x = 1, \\ y = -1\end{cases}$代入方程$x - ay = 4$，得：
$1 - a×(-1) = 4$，
化简得$1 + a = 4$，
解得$a = 3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的解；代入法求参数
【点评】
本题考查二元一次方程的解的定义，利用方程的解满足方程的性质，代入后转化为一元一次方程求解，属于基础题型，需熟练掌握此类求解参数的方法。

例 2 有一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为 5,则符合条件的数有个.
分析:根据题意及两位数的实际意义,将问题转化成求解二元一次方程的非负整数解.注意两位数中十位上的数字不可以为 0,但个位上的数字可以为 0.
解:设这个两位数十位上的数字为 $ x $,个位上的数字为 $ y $,则 $ x + y = 5 $,其中 $ x $ 为正整数, $ y $ 为非负整数. 所以 $ x $ 可以取 1,2,3,4,5,对应的 $ y $ 分别为 4,3,2,1,0,这个两位数分别为 14,23,32,41,50,一共有 5 个.

5

【解析】
设这个两位数十位上的数字为$x$，个位上的数字为$y$，根据题意可得$x + y = 5$，其中$x$为正整数（十位数字不能为0），$y$为非负整数。
当$x=1$时，$y=4$，两位数为14；
当$x=2$时，$y=3$，两位数为23；
当$x=3$时，$y=2$，两位数为32；
当$x=4$时，$y=1$，两位数为41；
当$x=5$时，$y=0$，两位数为50。
综上，符合条件的两位数共有5个。
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程整数解；两位数数位特征
【点评】
解决此类问题需结合两位数的实际意义，注意十位数字不能为0，将问题转化为求二元一次方程的符合条件的整数解，通过列举法即可得出结果。

变式:李老师有一包糖果,若分给 $ n $ 个学生,则每个学生分 $ x $ 颗;若分给 $ (n + 8) $ 个学生,则每个学生分 4 颗,还剩 2 颗.则 $ x $ 的值可能是().

A.6
B.7
C.8
D.9

解:根据题意,得$nx=4(n+8)+2$，
整理得$x=4+\frac{34}{n}$。
$\because n,x$均为正整数，
$\therefore n$的值为1,2,17,34。
当$n=1$时,$x=38$；
当$n=2$时,$x=21$；
当$n=17$时,$x=6$；
当$n=34$时,$x=5$。
故选A。