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1. 下列函数是 $ y $ 关于 $ x $ 的二次函数的是(
A.$ y = ax^2 + bx + c $
B.$ y = x(x - 1) $
C.$ y = \frac{1}{x^2} $
D.$ y = (x - 1)^2 - x^2 $
B
).A.$ y = ax^2 + bx + c $
B.$ y = x(x - 1) $
C.$ y = \frac{1}{x^2} $
D.$ y = (x - 1)^2 - x^2 $
答案
1. B
解析
【分析】
要判断函数是否为y关于x的二次函数，需紧扣二次函数的三个判定条件：1. 函数表达式是整式；2. 化简后自变量x的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。我们按照这三个条件逐一分析每个选项即可得出正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义逐个判断选项：
1. 选项A：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，函数最高次为1次或常数函数，不符合二次函数定义，排除；
2. 选项B：将表达式展开得$y=x^2-x$，属于整式，自变量最高次数为2，且二次项系数$1≠0$，符合二次函数定义；
3. 选项C：$y=\frac{1}{x^2}$是分式函数，不属于整式函数，不符合二次函数定义，排除；
4. 选项D：先化简表达式：$y=(x-1)^2-x^2=x^2-2x+1-x^2=-2x+1$，化简后自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，只有B选项符合二次函数的定义。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念、整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题，解题的关键是牢记二次函数的判定规则，注意要先化简表达式再判断次数，同时不要忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.85
要判断函数是否为y关于x的二次函数，需紧扣二次函数的三个判定条件：1. 函数表达式是整式；2. 化简后自变量x的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。我们按照这三个条件逐一分析每个选项即可得出正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义逐个判断选项：
1. 选项A：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，函数最高次为1次或常数函数，不符合二次函数定义，排除；
2. 选项B：将表达式展开得$y=x^2-x$，属于整式，自变量最高次数为2，且二次项系数$1≠0$，符合二次函数定义；
3. 选项C：$y=\frac{1}{x^2}$是分式函数，不属于整式函数，不符合二次函数定义，排除；
4. 选项D：先化简表达式：$y=(x-1)^2-x^2=x^2-2x+1-x^2=-2x+1$，化简后自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，只有B选项符合二次函数的定义。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念、整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题，解题的关键是牢记二次函数的判定规则，注意要先化简表达式再判断次数，同时不要忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.85
2. 函数$y=(m-n)x^2 + mx + n$是二次函数的条件是(
A.$m$，$n$是常数，且$m≠0$
B.$m$，$n$是常数，且$m≠n$
C.$m$，$n$是常数，且$n≠0$
D.$m$，$n$可以为任何常数
B
).A.$m$，$n$是常数，且$m≠0$
B.$m$，$n$是常数，且$m≠n$
C.$m$，$n$是常数，且$n≠0$
D.$m$，$n$可以为任何常数
答案
2. B
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数定义的核心要求：一是函数的最高次项为二次项，二是二次项的系数不能为0，一次项系数和常数项没有额外限制。本题中函数的二次项是$(m-n)x^2$，因此只需保证二次项系数不为0，且$m、n$为常数，即可满足该函数是二次函数，据此推导就能选出正确选项。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，其中$a$为二次项系数。
本题中函数$y=(m-n)x^2 + mx + n$的二次项系数为$m-n$，要使该函数为二次函数，需满足：
1. $m、n$为常数；
2. 二次项系数不为0，即$m-n≠0$，也就是$m≠ n$。
一次项系数$m$和常数项$n$无其他限制，因此符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的核心是抓住二次函数判定的关键条件：二次项系数不为0，不要被一次项、常数项的系数干扰，掌握二次函数的定义就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数定义的核心要求：一是函数的最高次项为二次项，二是二次项的系数不能为0，一次项系数和常数项没有额外限制。本题中函数的二次项是$(m-n)x^2$，因此只需保证二次项系数不为0，且$m、n$为常数，即可满足该函数是二次函数，据此推导就能选出正确选项。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，其中$a$为二次项系数。
本题中函数$y=(m-n)x^2 + mx + n$的二次项系数为$m-n$，要使该函数为二次函数，需满足：
1. $m、n$为常数；
2. 二次项系数不为0，即$m-n≠0$，也就是$m≠ n$。
一次项系数$m$和常数项$n$无其他限制，因此符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的核心是抓住二次函数判定的关键条件：二次项系数不为0，不要被一次项、常数项的系数干扰，掌握二次函数的定义就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 下列问题中的两个变量，能构成二次函数关系的是(
A.在一定时间内，汽车行驶的速度与行驶路程
B.底边长度一定，三角形的面积与高
C.正方体的体积与边长
D.计算圆的面积时，面积与半径的关系
D
).A.在一定时间内，汽车行驶的速度与行驶路程
B.底边长度一定，三角形的面积与高
C.正方体的体积与边长
D.计算圆的面积时，面积与半径的关系
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数为二次函数，其自变量的最高次数为2。我们只需要依次列出每个选项中两个变量的函数关系式，再对照二次函数的定义判断是否符合即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 设固定行驶时间为t，路程为s，速度为v，由路程公式可得s=vt，变形得v=s/t，t为常数，因此v是s的正比例函数（一次函数），不符合二次函数关系；
B. 设三角形固定底边长为a，高为h，面积为S，由三角形面积公式可得S=½ah，½a为常数，因此S是h的正比例函数（一次函数），不符合二次函数关系；
C. 设正方体边长为a，体积为V，由正方体体积公式可得V=a³，自变量a的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数关系；
D. 设圆的半径为r，面积为S，由圆的面积公式可得S=πr²，π为非零常数，自变量r的最高次数为2，符合二次函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
二次函数定义；函数关系判断；几何量计算公式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对二次函数定义的掌握情况，解题的关键是结合实际情境正确写出变量间的函数表达式，再根据函数的次数特征进行判断，熟练掌握各类函数的定义特征是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数为二次函数，其自变量的最高次数为2。我们只需要依次列出每个选项中两个变量的函数关系式，再对照二次函数的定义判断是否符合即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 设固定行驶时间为t，路程为s，速度为v，由路程公式可得s=vt，变形得v=s/t，t为常数，因此v是s的正比例函数（一次函数），不符合二次函数关系；
B. 设三角形固定底边长为a，高为h，面积为S，由三角形面积公式可得S=½ah，½a为常数，因此S是h的正比例函数（一次函数），不符合二次函数关系；
C. 设正方体边长为a，体积为V，由正方体体积公式可得V=a³，自变量a的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数关系；
D. 设圆的半径为r，面积为S，由圆的面积公式可得S=πr²，π为非零常数，自变量r的最高次数为2，符合二次函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
二次函数定义；函数关系判断；几何量计算公式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对二次函数定义的掌握情况，解题的关键是结合实际情境正确写出变量间的函数表达式，再根据函数的次数特征进行判断，熟练掌握各类函数的定义特征是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 在半径为4的圆中，挖去一个长为a，宽为$a-1$的矩形，则余下部分的面积y关于a的函数解析式为$\underline{\hspace{8cm}}$.
答案
$y=-a^2+a+16π$
解析
【分析】
要求余下部分的面积，需用原图形的总面积减去挖去部分的面积。首先回忆圆和矩形的面积计算公式，先算出半径为4的圆的面积，再算出长为a、宽为(a-1)的矩形面积，两者作差后整理表达式，即可得到y关于a的函数解析式。
【解析】
1. 计算圆的面积：已知圆的半径为4，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得圆的面积为$π × 4^2=16π$。
2. 计算挖去的矩形的面积：已知矩形长为a，宽为$a-1$，根据矩形面积公式$S=长× 宽$，可得矩形面积为$a(a-1)=a^2 - a$。
3. 推导余下部分面积的解析式：余下部分面积=圆的面积-矩形的面积，代入得$y=16π - (a^2 - a)$，整理后得$y=-a^2 + a + 16π$。
【答案】
$y=-a^2+a+16π$
【知识点】
1. 列二次函数解析式
2. 圆的面积计算
3. 矩形的面积计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心解题思路是面积差法，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的面积公式，理清各部分面积之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要求余下部分的面积，需用原图形的总面积减去挖去部分的面积。首先回忆圆和矩形的面积计算公式，先算出半径为4的圆的面积，再算出长为a、宽为(a-1)的矩形面积，两者作差后整理表达式，即可得到y关于a的函数解析式。
【解析】
1. 计算圆的面积：已知圆的半径为4，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得圆的面积为$π × 4^2=16π$。
2. 计算挖去的矩形的面积：已知矩形长为a，宽为$a-1$，根据矩形面积公式$S=长× 宽$，可得矩形面积为$a(a-1)=a^2 - a$。
3. 推导余下部分面积的解析式：余下部分面积=圆的面积-矩形的面积，代入得$y=16π - (a^2 - a)$，整理后得$y=-a^2 + a + 16π$。
【答案】
$y=-a^2+a+16π$
【知识点】
1. 列二次函数解析式
2. 圆的面积计算
3. 矩形的面积计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心解题思路是面积差法，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的面积公式，理清各部分面积之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 市民骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定. 经销商统计某品牌头盔7月份售出1500个. 若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是
$y=1\ 500(1+x)^2$
.答案
5. $y=1\ 500(1+x)^2$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类实际应用题，解题思路如下：首先明确已知条件为7月份销量1500个，每月销量的增长率为x，从7月到9月共增长2次。我们可以先求出8月份的销量，再以8月份销量为基数求出9月份的销量，最终整理得到y与x的函数解析式。
【解析】
第一步：计算8月份的销售量
已知7月份售出1500个，每月增长率为x，因此8月份的销售量 = 7月份销售量×(1+增长率) = 1500(1+x) 个；
第二步：计算9月份的销售量
9月份的销售量是在8月份销售量的基础上再次增长x，因此：
y = 8月份销售量×(1+增长率) = 1500(1+x)·(1+x) = 1500(1+x)²
【答案】
$y=1500(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题；列二次函数解析式
【点评】
本题结合生活热点考查增长率公式的应用，难度较低，解题的关键是准确判断增长的次数，牢记增长率问题的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类实际应用题，解题思路如下：首先明确已知条件为7月份销量1500个，每月销量的增长率为x，从7月到9月共增长2次。我们可以先求出8月份的销量，再以8月份销量为基数求出9月份的销量，最终整理得到y与x的函数解析式。
【解析】
第一步：计算8月份的销售量
已知7月份售出1500个，每月增长率为x，因此8月份的销售量 = 7月份销售量×(1+增长率) = 1500(1+x) 个；
第二步：计算9月份的销售量
9月份的销售量是在8月份销售量的基础上再次增长x，因此：
y = 8月份销售量×(1+增长率) = 1500(1+x)·(1+x) = 1500(1+x)²
【答案】
$y=1500(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题；列二次函数解析式
【点评】
本题结合生活热点考查增长率公式的应用，难度较低，解题的关键是准确判断增长的次数，牢记增长率问题的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数。
【难度系数】
0.8
6. 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
①$y=1-3x^2$；②$y=6x^2+2x$；③$y=x(x+5)+2$；④$y=3x^3+2x^2$；⑤$y=x+\frac{1}{x}$.
①$y=1-3x^2$；②$y=6x^2+2x$；③$y=x(x+5)+2$；④$y=3x^3+2x^2$；⑤$y=x+\frac{1}{x}$.
答案
6. ①②③为二次函数. 其中，①$y=1-3x^2$的二次项系数为$-3$，一次项系数为0，常数项为1；②$y=6x^2+2x$的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0；③$y=x(x+5)+2=x^2+5x+2$的二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为2.
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数。判断时遵循3个步骤：1.将函数表达式化简为最简形式；2.判断表达式是否为整式（自变量不能出现在分母、根号内等位置）；3.验证自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。满足所有条件即为二次函数，再对应提取各项系数即可，注意缺失的项对应的系数为0。
【解析】
二次函数需同时满足3个条件：①表达式为整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0，我们逐个分析：
①$y=1-3x^2$：表达式为整式，整理得$y=-3x^2+0x+1$，自变量最高次数为2，二次项系数$-3≠0$，是二次函数；
②$y=6x^2+2x$：表达式为整式，整理得$y=6x^2+2x+0$，自变量最高次数为2，二次项系数$6≠0$，是二次函数；
③$y=x(x+5)+2$：先展开化简得$y=x^2+5x+2$，表达式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数$1≠0$，是二次函数；
④$y=3x^3+2x^2$：自变量最高次数为3，不满足条件，不是二次函数；
⑤$y=x+\frac{1}{x}$：表达式含分式，不是整式，不满足条件，不是二次函数。
【答案】
①②③为二次函数. 其中，①$y=1-3x^2$的二次项系数为$-3$，一次项系数为0，常数项为1；②$y=6x^2+2x$的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0；③$y=x(x+5)+2=x^2+5x+2$的二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为2.
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的化简 3.多项式的项与系数
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题核心是抓住二次函数的三个核心特征，遇到带括号的函数要先化简再判断，不要被表面形式迷惑，确定各项系数时注意缺项对应的系数为0，避免漏写。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为二次函数，首先牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数。判断时遵循3个步骤：1.将函数表达式化简为最简形式；2.判断表达式是否为整式（自变量不能出现在分母、根号内等位置）；3.验证自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。满足所有条件即为二次函数，再对应提取各项系数即可，注意缺失的项对应的系数为0。
【解析】
二次函数需同时满足3个条件：①表达式为整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0，我们逐个分析：
①$y=1-3x^2$：表达式为整式，整理得$y=-3x^2+0x+1$，自变量最高次数为2，二次项系数$-3≠0$，是二次函数；
②$y=6x^2+2x$：表达式为整式，整理得$y=6x^2+2x+0$，自变量最高次数为2，二次项系数$6≠0$，是二次函数；
③$y=x(x+5)+2$：先展开化简得$y=x^2+5x+2$，表达式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数$1≠0$，是二次函数；
④$y=3x^3+2x^2$：自变量最高次数为3，不满足条件，不是二次函数；
⑤$y=x+\frac{1}{x}$：表达式含分式，不是整式，不满足条件，不是二次函数。
【答案】
①②③为二次函数. 其中，①$y=1-3x^2$的二次项系数为$-3$，一次项系数为0，常数项为1；②$y=6x^2+2x$的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0；③$y=x(x+5)+2=x^2+5x+2$的二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为2.
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的化简 3.多项式的项与系数
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题核心是抓住二次函数的三个核心特征，遇到带括号的函数要先化简再判断，不要被表面形式迷惑，确定各项系数时注意缺项对应的系数为0，避免漏写。
【难度系数】
0.8
