1. 如图所示，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ D=60°$，则$∠ B$的度数是（）


A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$

1. B

【分析】
解决本题首先要识别图形特征：四边形ABCD内接于⊙O，属于圆内接四边形，此时回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠D的度数，∠B与∠D是一组对角，因此只需用180°减去∠D的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又
∵$∠ D=60°$，
∴$∠ B = 180° - 60° = 120°$。
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形对角互补性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，计算量很小。
【难度系数】
0.9

2. 在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D等于（）

A.$40°$
B.$60°$
C.$100°$
D.$120°$

2. D

【分析】
解题首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即对角之和为180°。题目给出了∠A、∠B、∠C的度数比，我们可以先设每份角度为x，将三个角用含x的式子表示，再利用∠A与∠C是对角、和为180°的关系求出x的值，接着算出∠B的度数，最后利用∠B与∠D互补即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵ 圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
设∠A=2x，∠B=3x，∠C=7x，
代入∠A + ∠C = 180°，得：
2x + 7x = 180°，
解得x=20°，
∴ ∠B = 3x = 3×20°=60°，
∴ ∠D = 180° - ∠B = 180° - 60°=120°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 比例角度计算
【点评】
本题是基础题，重点考查圆内接四边形对角互补的性质，解题的突破口是利用已知比例和对角互补关系求出比例系数，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 在圆内接四边形$ABCD$中，弧的度数的比为$\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CD}=4:2:5$，又$∠ B=120°$，则$∠ A=$，$∠ C=$，$∠ D=$。

3. $70°\ \ 110°\ \ 60°$

【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：1. 圆内接四边形对角互补；2. 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。首先根据已知的∠B=120°，求出它所对的弧$\overset{\frown}{ADC}$的度数，进而得到剩余弧$\overset{\frown}{ABC}$的度数；再结合弧的比例关系设未知数，求出比例系数k，得到各段弧的度数，最后结合圆周角定理或圆内接四边形对角互补的性质计算三个内角即可。
【解析】
1. 设$\overset{\frown}{AB}=4k$，$\overset{\frown}{BC}=2k$，$\overset{\frown}{CD}=5k$（k为单位为°的常数）。
2. ∠B是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{ADC}$，根据圆周角定理可得：$\overset{\frown}{ADC}$的度数为$2∠B=2×120°=240°$。
3. 圆周总度数为360°，因此$\overset{\frown}{ABC}$的度数为$360°-240°=120°$，而$\overset{\frown}{ABC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$，代入得$4k+2k=120°$，解得$k=20°$。
4. 计算各段弧的度数：$\overset{\frown}{AB}=80°$，$\overset{\frown}{BC}=40°$，$\overset{\frown}{CD}=100°$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{ADC}-\overset{\frown}{CD}=240°-100°=140°$。
5. 求内角：
∠A所对弧为$\overset{\frown}{BCD}=40°+100°=140°$，故$∠A=\frac{1}{2}×140°=70°$；
根据圆内接四边形对角互补：$∠C=180°-∠A=110°$，$∠D=180°-∠B=60°$。
【答案】
$70°$，$110°$，$60°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆内接四边形性质和圆周角定理的基础综合应用题，解题的突破口是通过已知角推导对应弧的度数，结合弧的比例关系求出比例系数，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

4. 如图所示，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB为直径，$∠ C = 120°$。若$AD=2$，则AB的长为。

4. 4

【分析】
解题时首先利用圆内接四边形的性质求对应角的度数：已知四边形是圆内接四边形，对角互补，可先求出∠BAD的度数；其次看到AB是直径，联想到“直径所对的圆周角为直角”，连接BD构造直角三角形ABD；最后结合直角三角形中30°角对应的直角边是斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
1. 根据圆内接四边形对角互补的性质：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
已知$∠ C=∠ BCD=120°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 120° = 60°$。
2. 连接BD，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角：
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
3. 在$Rt△ ABD$中：
$∠ ABD=90° - ∠ BAD=90°-60°=30°$，
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ ABD$对的直角边为$AD$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB$，
已知$AD=2$，
∴ $AB=2AD=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，属于圆部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB，DC的延长线交于点E，$∠ AED$的平分线分别交BC，AD于点F，G。求证：$∠ GFC=∠ DGF$。
（第5题）

5. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是圆内接四边形, $\therefore ∠ ADC = ∠ EBF$。$\because EG$ 平分 $∠ AED, \therefore ∠ BEF = ∠ DEG, \therefore ∠ EGD = ∠ EFB$。$\because ∠ CFG = ∠ EFB, ∠ EGD = ∠ DGF, \therefore ∠ GFC = ∠ DGF$

【分析】
要证明∠GFC=∠DGF，可通过角的等量代换逐步推导：首先利用圆内接四边形的性质得到一组相等的角，再结合角平分线的定义得到另一组相等的角，由此推出两个三角形中对应第三个角相等，最后结合对顶角相等的性质完成等量代换，即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ 圆内接四边形的外角等于内对角，即$∠ ADC = ∠ EBF$。
∵ EG平分$∠ AED$，
∴ 根据角平分线的定义，$∠ BEF = ∠ DEG$。
由三角形内角和为$180°$，可得$∠ EGD = 180°-∠ ADC-∠ DEG$，$∠ EFB = 180°-∠ EBF-∠ BEF$，因此$∠ EGD = ∠ EFB$。
∵ $∠ CFG$和$∠ EFB$是对顶角，$∠ EGD$就是$∠ DGF$，
∴ $∠ CFG = ∠ EFB$，$∠ EGD = ∠ DGF$，
∴ $∠ GFC = ∠ DGF$。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是圆内接四边形, $\therefore ∠ ADC = ∠ EBF$。$\because EG$ 平分 $∠ AED, \therefore ∠ BEF = ∠ DEG, \therefore ∠ EGD = ∠ EFB$。$\because ∠ CFG = ∠ EFB, ∠ EGD = ∠ DGF, \therefore ∠ GFC = ∠ DGF$
【知识点】
圆内接四边形的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心是通过多个角的性质进行等量代换，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形外角等于内对角的性质，找到中间过渡的相等角完成推导。
【难度系数】
0.7