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1. [教材P103例1改编]将一个周长为42 cm的长方形的长减少3 cm，宽增加2 cm，能得到一个正方形。若设长方形的长为x cm，则根据题意可列方程为（
A.$x+2=(42-x)-3$
B.$x-3=(42-x)+2$
C.$x+2=(21-x)-3$
D.$x-3=(21-x)+2$
D
）A.$x+2=(42-x)-3$
B.$x-3=(42-x)+2$
C.$x+2=(21-x)-3$
D.$x-3=(21-x)+2$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先明确题目已设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，第一步先根据长方形周长公式推导宽的表达式：已知长方形周长为42cm，由周长公式$C=2×(长+宽)$可得，长与宽的和为$42÷2=21\ \mathrm{cm}$，因此长方形的宽为$(21-x)\ \mathrm{cm}$。第二步找等量关系：长减少3cm、宽增加2cm后得到正方形，正方形的边长相等，即变化后的长与变化后的宽相等。变化后的长为$x-3$，变化后的宽为$(21-x)+2$，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 求长方形的宽：
由长方形周长公式可得，长+宽$=42÷2=21\ \mathrm{cm}$，因此宽为$(21-x)\ \mathrm{cm}$。
2. 根据正方形边长相等列方程：
长减少3cm后长度为$(x-3)\ \mathrm{cm}$，宽增加2cm后长度为$(21-x+2)\ \mathrm{cm}$，二者相等，可列方程：
$x-3=(21-x)+2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长计算，正方形的性质
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题关键是抓住“变化后为正方形”这一条件得到边长相等的等量关系，先推导宽的表达式再列方程即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目已设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，第一步先根据长方形周长公式推导宽的表达式：已知长方形周长为42cm，由周长公式$C=2×(长+宽)$可得，长与宽的和为$42÷2=21\ \mathrm{cm}$，因此长方形的宽为$(21-x)\ \mathrm{cm}$。第二步找等量关系：长减少3cm、宽增加2cm后得到正方形，正方形的边长相等，即变化后的长与变化后的宽相等。变化后的长为$x-3$，变化后的宽为$(21-x)+2$，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 求长方形的宽：
由长方形周长公式可得，长+宽$=42÷2=21\ \mathrm{cm}$，因此宽为$(21-x)\ \mathrm{cm}$。
2. 根据正方形边长相等列方程：
长减少3cm后长度为$(x-3)\ \mathrm{cm}$，宽增加2cm后长度为$(21-x+2)\ \mathrm{cm}$，二者相等，可列方程：
$x-3=(21-x)+2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长计算，正方形的性质
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题关键是抓住“变化后为正方形”这一条件得到边长相等的等量关系，先推导宽的表达式再列方程即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，老师将大量筒中的水全部倒入空的小量筒中，根据图中的信息，可得正确的方程是（
A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 ×(x-5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 ×(x+5)$
C.$π×8^2 x=π×6^2 ×(x+5)$
D.$π×8^2 x=π×6^2 ×5$
B
）A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 ×(x-5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 ×(x+5)$
C.$π×8^2 x=π×6^2 ×(x+5)$
D.$π×8^2 x=π×6^2 ×5$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道等积变形类的方程应用题，解题核心是抓住“水的体积在倒入前后保持不变”这一等量关系。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×半径²×高，注意题目给出的是量筒的底面直径，计算底面积时要先把直径换算成半径。接下来分别表示出大量筒、小量筒中水的体积，再根据体积相等列等式即可。观察高度变化：小量筒更细，倒入相同体积的水后，水面高度比大量筒中原来的水面高度x多5cm，因此小量筒中水面高度为(x+5)cm。
【解析】
第一步：确定等量关系：大量筒中水的体积=倒入小量筒后水的体积。
第二步：根据圆柱体积公式分别计算两个量筒中水的体积：
大量筒底面直径为8cm，因此底面半径为$\frac{8}{2}$cm，水面高度为x cm，水的体积为$π×(\frac{8}{2})^2 x$；
小量筒底面直径为6cm，因此底面半径为$\frac{6}{2}$cm，倒入水后水面高度比x多5cm，即高度为$(x+5)$cm，水的体积为$π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$。
第三步：根据体积相等列方程：$π×(\frac{8}{2})^2 x=π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等积变形问题，圆柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题解题的关键是抓住“液体体积在容器更换前后不变”这一核心等量关系，需要注意计算圆柱底面积时要代入半径，不要直接用直径计算，同时要准确判断小量筒中水面的高度和原高度x的关系。
【难度系数】
0.7
这是一道等积变形类的方程应用题，解题核心是抓住“水的体积在倒入前后保持不变”这一等量关系。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×半径²×高，注意题目给出的是量筒的底面直径，计算底面积时要先把直径换算成半径。接下来分别表示出大量筒、小量筒中水的体积，再根据体积相等列等式即可。观察高度变化：小量筒更细，倒入相同体积的水后，水面高度比大量筒中原来的水面高度x多5cm，因此小量筒中水面高度为(x+5)cm。
【解析】
第一步：确定等量关系：大量筒中水的体积=倒入小量筒后水的体积。
第二步：根据圆柱体积公式分别计算两个量筒中水的体积：
大量筒底面直径为8cm，因此底面半径为$\frac{8}{2}$cm，水面高度为x cm，水的体积为$π×(\frac{8}{2})^2 x$；
小量筒底面直径为6cm，因此底面半径为$\frac{6}{2}$cm，倒入水后水面高度比x多5cm，即高度为$(x+5)$cm，水的体积为$π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$。
第三步：根据体积相等列方程：$π×(\frac{8}{2})^2 x=π×(\frac{6}{2})^2 ×(x+5)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等积变形问题，圆柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题解题的关键是抓住“液体体积在容器更换前后不变”这一核心等量关系，需要注意计算圆柱底面积时要代入半径，不要直接用直径计算，同时要准确判断小量筒中水面的高度和原高度x的关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图，把一块长为40 cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5 cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒。若纸盒的体积是1 500 cm³，则长方形硬纸板的宽为
20
cm.答案
3.20
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确剪去小正方形后折成无盖纸盒的边长对应关系：1. 纸盒的高就是剪去的小正方形的边长5cm；2. 纸盒的长等于原长方形的长减去左右两个小正方形的边长；3. 纸盒的宽等于原长方形的宽减去上下两个小正方形的边长。我们可以设原硬纸板的宽为未知数，结合长方体体积公式（体积=长×宽×高）列出方程求解，最后注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设长方形硬纸板的宽为$ x $ cm。
折成的无盖长方体纸盒各参数为：
长：$ 40 - 2×5 = 30 $（cm）
宽：$ x - 2×5 = (x - 10) $（cm）
高：$ 5 $ cm
根据长方体体积公式，已知纸盒体积为$ 1500\ \mathrm{cm}^3 $，列方程得：
$ 30×(x - 10)×5 = 1500 $
化简得：$ 150(x - 10) = 1500 $
两边同时除以150得：$ x - 10 = 10 $
解得：$ x = 20 $
检验：当$ x=20 $时，纸盒的宽为$ 20-10=10\ \mathrm{cm}＞0 $，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程的应用；长方体体积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准折叠前后图形的边长对应关系，结合体积公式建立方程求解，求解后注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确剪去小正方形后折成无盖纸盒的边长对应关系：1. 纸盒的高就是剪去的小正方形的边长5cm；2. 纸盒的长等于原长方形的长减去左右两个小正方形的边长；3. 纸盒的宽等于原长方形的宽减去上下两个小正方形的边长。我们可以设原硬纸板的宽为未知数，结合长方体体积公式（体积=长×宽×高）列出方程求解，最后注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设长方形硬纸板的宽为$ x $ cm。
折成的无盖长方体纸盒各参数为：
长：$ 40 - 2×5 = 30 $（cm）
宽：$ x - 2×5 = (x - 10) $（cm）
高：$ 5 $ cm
根据长方体体积公式，已知纸盒体积为$ 1500\ \mathrm{cm}^3 $，列方程得：
$ 30×(x - 10)×5 = 1500 $
化简得：$ 150(x - 10) = 1500 $
两边同时除以150得：$ x - 10 = 10 $
解得：$ x = 20 $
检验：当$ x=20 $时，纸盒的宽为$ 20-10=10\ \mathrm{cm}＞0 $，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程的应用；长方体体积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准折叠前后图形的边长对应关系，结合体积公式建立方程求解，求解后注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
4.合安(合肥—安庆)高速全长约170 km，甲、乙
两人分别从合肥、安庆同时驾车出发，相向而行，甲驾车的平均速度是110 km/h，乙驾车的平均速度是95 km/h.若设甲出发x h后两人相遇，则可列方程为
两人分别从合肥、安庆同时驾车出发，相向而行，甲驾车的平均速度是110 km/h，乙驾车的平均速度是95 km/h.若设甲出发x h后两人相遇，则可列方程为
$110x+95x=170$
.答案
4.$110x+95x=170$
解析
【分析】
这是一道行程类的相向相遇问题，解题核心是抓住相遇问题的等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间。两人同时出发相向而行，相遇时两人各自行驶的路程之和恰好等于两地的总路程。我们只需要先分别表示出甲、乙行驶x小时的路程，再根据路程和等于总路程的关系，就能列出对应的方程。
【解析】
已知甲出发x h后两人相遇，由于两人同时出发，因此乙的行驶时间也为x h。
根据路程=速度×时间可得：
甲行驶的路程为：$110× x=110x$（km）
乙行驶的路程为：$95× x=95x$（km）
两人相遇时行驶的路程之和等于合安高速全长170 km，因此可列方程：$110x+95x=170$
【答案】
$110x+95x=170$
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相遇问题；路程=速度×时间
【点评】
本题是行程问题的基础题型，重点考察相向相遇场景下的等量关系，熟练掌握路程、速度、时间三者的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
这是一道行程类的相向相遇问题，解题核心是抓住相遇问题的等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间。两人同时出发相向而行，相遇时两人各自行驶的路程之和恰好等于两地的总路程。我们只需要先分别表示出甲、乙行驶x小时的路程，再根据路程和等于总路程的关系，就能列出对应的方程。
【解析】
已知甲出发x h后两人相遇，由于两人同时出发，因此乙的行驶时间也为x h。
根据路程=速度×时间可得：
甲行驶的路程为：$110× x=110x$（km）
乙行驶的路程为：$95× x=95x$（km）
两人相遇时行驶的路程之和等于合安高速全长170 km，因此可列方程：$110x+95x=170$
【答案】
$110x+95x=170$
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相遇问题；路程=速度×时间
【点评】
本题是行程问题的基础题型，重点考察相向相遇场景下的等量关系，熟练掌握路程、速度、时间三者的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
5. 甲、乙两车分别从距离 360 km 的两地相向开出,已知甲车的速度是 60 km/h,乙车的速度是 40 km/h. 若甲车先开出 1 h,则乙车开出多长时间后两车相遇?
答案
5. 乙车开出 3 h 后两车相遇.
解析
【分析】
这是典型的相向而行的行程相遇问题，解题核心是找到等量关系：甲车行驶的总路程 + 乙车行驶的路程 = 两地总距离。首先明确两车的行驶时间差异：甲车先开1小时，若设乙车开出x小时后相遇，则甲车的总行驶时间为(x+1)小时，再结合“路程=速度×时间”分别表示两车的路程，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设乙车开出$ x $小时后两车相遇，此时甲车的总行驶时间为$ (x+1) \, \mathrm{h} $。
根据两车路程和等于总路程，列方程：
$ 60(x+1) + 40x = 360 $
展开得：$ 60x + 60 + 40x = 360 $
合并同类项得：$ 100x + 60 = 360 $
移项计算得：$ 100x = 300 $
解得：$ x = 3 $
经检验，结果符合题意。
【答案】
乙车开出3 h后两车相遇。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程相遇问题
【点评】
本题是行程问题的基础题型，解题关键是准确梳理两车行驶时间的关系，找准路程和等于总距离的核心等量关系，列方程求解即可，注意不要遗漏甲车先行驶的1小时路程。
【难度系数】
0.8
这是典型的相向而行的行程相遇问题，解题核心是找到等量关系：甲车行驶的总路程 + 乙车行驶的路程 = 两地总距离。首先明确两车的行驶时间差异：甲车先开1小时，若设乙车开出x小时后相遇，则甲车的总行驶时间为(x+1)小时，再结合“路程=速度×时间”分别表示两车的路程，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设乙车开出$ x $小时后两车相遇，此时甲车的总行驶时间为$ (x+1) \, \mathrm{h} $。
根据两车路程和等于总路程，列方程：
$ 60(x+1) + 40x = 360 $
展开得：$ 60x + 60 + 40x = 360 $
合并同类项得：$ 100x + 60 = 360 $
移项计算得：$ 100x = 300 $
解得：$ x = 3 $
经检验，结果符合题意。
【答案】
乙车开出3 h后两车相遇。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程相遇问题
【点评】
本题是行程问题的基础题型，解题关键是准确梳理两车行驶时间的关系，找准路程和等于总距离的核心等量关系，列方程求解即可，注意不要遗漏甲车先行驶的1小时路程。
【难度系数】
0.8
6. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早40 min经过B地.设A，B两地间的路程是x km.由题意可列方程为
$\frac{x}{60}-\frac{x}{70}=\frac{40}{60}$
.答案
6.$\frac{x}{60}-\frac{x}{70}=\frac{40}{60}$
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题思路如下：①先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度；②明确两车行驶的路程都是A、B两地的距离x km，客车速度比卡车快，所以行驶全程的时间更短，已知客车比卡车早40分钟到B地，即卡车行驶全程的时间比客车多40分钟；③注意单位统一，速度单位是km/h，所以时间差40分钟要换算为$\frac{40}{60}$h；④根据“卡车行驶时间 - 客车行驶时间 = 时间差”的等量关系即可列出方程。
【解析】
根据行程问题公式“时间=路程÷速度”可得：
卡车从A地到B地的行驶时间为$\frac{x}{60}$h，
客车从A地到B地的行驶时间为$\frac{x}{70}$h，
已知客车比卡车早40min到达B地，40min换算为小时是$\frac{40}{60}$h，
即卡车行驶全程的时间比客车多$\frac{40}{60}$h，据此列方程：
$\frac{x}{60}-\frac{x}{70}=\frac{40}{60}$
【答案】
$\frac{x}{60}-\frac{x}{70}=\frac{40}{60}$
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 一元一次方程的应用
3. 时间单位换算
【点评】
本题是行程问题的基础常考题，解题的关键是准确梳理两车行驶时间的大小关系，找到正确的等量关系，同时要注意单位的统一，避免直接用分钟代入计算导致列错方程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题思路如下：①先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度；②明确两车行驶的路程都是A、B两地的距离x km，客车速度比卡车快，所以行驶全程的时间更短，已知客车比卡车早40分钟到B地，即卡车行驶全程的时间比客车多40分钟；③注意单位统一，速度单位是km/h，所以时间差40分钟要换算为$\frac{40}{60}$h；④根据“卡车行驶时间 - 客车行驶时间 = 时间差”的等量关系即可列出方程。
【解析】
根据行程问题公式“时间=路程÷速度”可得：
卡车从A地到B地的行驶时间为$\frac{x}{60}$h，
客车从A地到B地的行驶时间为$\frac{x}{70}$h，
已知客车比卡车早40min到达B地，40min换算为小时是$\frac{40}{60}$h，
即卡车行驶全程的时间比客车多$\frac{40}{60}$h，据此列方程：
$\frac{x}{60}-\frac{x}{70}=\frac{40}{60}$
【答案】
$\frac{x}{60}-\frac{x}{70}=\frac{40}{60}$
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 一元一次方程的应用
3. 时间单位换算
【点评】
本题是行程问题的基础常考题，解题的关键是准确梳理两车行驶时间的大小关系，找到正确的等量关系，同时要注意单位的统一，避免直接用分钟代入计算导致列错方程。
【难度系数】
0.7
7.一队学生去校外进行训练，他们以5 km/h的速度行进，走了18 min后，学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发，骑自行车以14 km/h的速度按相同路线追上去，通讯员需要多长时间才可以追上学生队伍？（忽略队伍长度）
答案
7. 通讯员需要$\frac{1}{6}$ h(或 10 min)才可以追上学生队伍.
解析
【分析】
这是典型的行程追及问题，解题核心是找准路程等量关系：通讯员追上队伍时，通讯员骑行的总路程 = 学生队伍先走的路程 + 通讯员追及过程中学生队伍行进的路程。解题时首先要统一时间单位，再设未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设通讯员需要$x$ h才可以追上学生队伍。
先统一单位：$18\ \mathrm{min} = \frac{18}{60}\ \mathrm{h} = \frac{3}{10}\ \mathrm{h}$。
根据追及时两者路程相等，列方程：
$14x = 5×(\frac{3}{10} + x)$
解方程：
$14x = \frac{3}{2} + 5x$
$14x - 5x = \frac{3}{2}$
$9x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2} ÷ 9 = \frac{1}{6}$
换算为分钟可得：$\frac{1}{6}\ \mathrm{h} = 10\ \mathrm{min}$
【答案】
通讯员需要$\frac{1}{6}$ h(或 10 min)才可以追上学生队伍。
【知识点】
一元一次方程应用，追及问题，路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类基础题，解题关键是准确梳理追及过程中的路程等量关系，解题前需注意统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这是典型的行程追及问题，解题核心是找准路程等量关系：通讯员追上队伍时，通讯员骑行的总路程 = 学生队伍先走的路程 + 通讯员追及过程中学生队伍行进的路程。解题时首先要统一时间单位，再设未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设通讯员需要$x$ h才可以追上学生队伍。
先统一单位：$18\ \mathrm{min} = \frac{18}{60}\ \mathrm{h} = \frac{3}{10}\ \mathrm{h}$。
根据追及时两者路程相等，列方程：
$14x = 5×(\frac{3}{10} + x)$
解方程：
$14x = \frac{3}{2} + 5x$
$14x - 5x = \frac{3}{2}$
$9x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2} ÷ 9 = \frac{1}{6}$
换算为分钟可得：$\frac{1}{6}\ \mathrm{h} = 10\ \mathrm{min}$
【答案】
通讯员需要$\frac{1}{6}$ h(或 10 min)才可以追上学生队伍。
【知识点】
一元一次方程应用，追及问题，路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类基础题，解题关键是准确梳理追及过程中的路程等量关系，解题前需注意统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.8
