7. 下列图形中，不是旋转对称图形的是 （）

7.C

【分析】
首先明确旋转对称图形的定义：平面内，将一个图形绕某一定点旋转小于360°的角度后，能与自身重合的图形叫做旋转对称图形。解题时只需依次判断四个选项中的图形是否满足该定义，即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
1. 选项A：该图形绕中心旋转60°、120°、180°、240°、300°时，均能与自身重合，属于旋转对称图形，不符合题意；
2. 选项B：该图形绕中心旋转120°、240°时，能与自身重合，属于旋转对称图形，不符合题意；
3. 选项C：该图形绕任意点旋转小于360°的角度，都无法与自身重合，不属于旋转对称图形，符合题意；
4. 选项D：该图形绕中心旋转90°、180°、270°时，能与自身重合，属于旋转对称图形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形定义、图形旋转的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对旋转对称图形判定标准的掌握，需要注意旋转的角度要小于360°，只要存在一个小于360°的角度让图形旋转后与自身重合，就属于旋转对称图形。
【难度系数】
0.8

8.[教材P3练习第1题改编]如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°＜α＜360°)后能够与它本身重合，则旋转角α至少为°。

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8.60

【分析】
要确定图案的最小旋转重合角，首先需明确旋转对称图形的特点：绕中心旋转一定角度后能与自身重合，最小旋转角等于周角360°除以图形中均匀分布的完全相同的部分的总个数。首先观察图案可知，图形围绕中心均匀分布着6个全等的重复部分，因此用360°除以份数6即可求出最小旋转角。
【解析】
观察图案可得，该图案绕中心平均分为6个完全相同的部分，相邻两部分对应的中心角为：
$α=360°÷6=60°$
因此旋转角α至少为60°时，旋转后的图案能够与本身重合。
【答案】
60
【知识点】
旋转对称图形；旋转的性质；最小旋转角计算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查旋转对称的相关应用，解题核心是准确识别图形的均等份数，掌握旋转对称的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在边长为2的正方形ABCD中,若将AB绕点A逆时针旋转$60°$,使点B落在点$B'$的位置,连接$BB'$并延长交CD于点E,则$B'E$的长为 ()

A.1
B.$\frac{4\sqrt{3}}{3} - 2$
C.$2\sqrt{3} - 1$
D.$\frac{1}{2}$

9.B

【分析】
解题时首先结合旋转的性质，得到AB=AB'、旋转角∠BAB'=60°，可判断△ABB'为等边三角形，求出BB'的长度和∠ABB'的度数；再结合正方形的内角为90°，推出∠CBE=30°，最后在Rt△BCE中利用特殊角的三角函数值求出BE的长度，用BE减去BB'即可得到B'E的长度。
【解析】
∵将AB绕点A逆时针旋转60°得到AB'，
∴AB=AB'，∠BAB'=60°，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'=AB=2，∠ABB'=60°，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，BC=2，
∴∠CBE=90°-∠ABB'=90°-60°=30°，
在Rt△BCE中，$\cos∠ CBE=\frac{BC}{BE}$，
∴$BE=\frac{BC}{\cos30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$B'E=BE - BB'=\frac{4\sqrt{3}}{3}-2$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的突破口是先由旋转性质判定等边三角形，再结合正方形的性质得到特殊角，利用三角函数计算线段长度，解题时要注意所求线段是两条线段的差，避免直接将BE当做最终结果。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在正方形$ABCD$中,连接$BD$,$BE$平分$∠ DBC$,交$DC$于点$E$,将$△ BCE$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ DCF$.若$CF=1$,则$S_{△ BDE}=$（）

A.$1+2\sqrt{2}$
B.$1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

10.B

【分析】
解题时首先利用旋转的对应边相等得到CE=CF=1，再结合角平分线的性质，过E作BD的垂线，可得该垂线段长度等于CE；接下来根据正方形对角线平分内角得∠BDC=45°，可推出△DEG是等腰直角三角形，求出DE的长度，进而得到正方形的边长；最后代入三角形面积公式计算△BDE的面积即可。
【解析】
解：
∵△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，且CF=1，
∴CE=CF=1。
过点E作EG⊥BD于点G，
∵BE平分∠DBC，∠BCD=90°，
∴EG=CE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠BDC=45°，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴$DE=\sqrt{2}EG=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$，
∴正方形边长$DC=DE+CE=\sqrt{2}+1$，即$BC=DC=\sqrt{2}+1$。
△BDE以DE为底时，高为BC的长度，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×DE×BC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=\frac{1}{2}×(2+\sqrt{2})=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，将旋转、正方形、角平分线的性质结合考查，解题关键是通过作辅助线，利用角平分线性质和等腰直角三角形的特征求出对应线段长度，进而计算面积，难度中等。
【难度系数】
0.65

11.如图,在等边$△ ABC$中,$AB=4$,$D$是$BC$的中点,连接$AD$,将$△ ABD$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ACE$,连接$DE$,则线段$DE$的长为.

11.$2\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先结合等边三角形的性质，利用D是BC中点的条件求出AD的长度；再根据旋转的性质，得到对应边AD=AE，且旋转角∠DAE等于等边△ABC的内角60°，由此可判定△ADE为等边三角形，进而推出DE=AD，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，D是BC的中点
∴AB=BC=4，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，AD⊥BC，∠BAC=60°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∵将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE
∴由旋转的性质可得：AD=AE，∠CAE=∠BAD
∴∠DAE=∠CAD + ∠CAE=∠CAD + ∠BAD=∠BAC=60°
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴DE=AD=$2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何题，将旋转性质与等边三角形的知识结合考查，解题的核心是通过旋转的性质推导得到△ADE为等边三角形，实现线段的转化，计算过程简单，较易得分。
【难度系数】
0.7

12. 如图，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE于点H.
(1)求证:AB=BH；
(2)连接BG交CE于点O，已知AB=5，BC=13，求BO的长.

12. (1)证明略
(2)$BO=\sqrt{61}$

【分析】
(1) 要证AB=BH，结合矩形性质可知AB=CD，可转化为证CD=BH。首先由矩形AD//BC得内错角∠DEC=∠BCE，由旋转性质得CE=BC，结合∠D=∠BHC=90°，证明△CDE≌△BHC可得CD=BH，等量代换即可得结论。
(2) 求BO的长，先在Rt△CDE中用勾股定理求DE的长，结合全等性质得CH=DE，再由BH//CG证△BOH≌△GOC得OH=OC，求出OH的长后，在Rt△BHO中用勾股定理计算BO即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠D=90°，AD//BC，
∴ ∠DEC=∠BCE。
由旋转的性质得CE=CB，
∵ BH⊥CE，
∴ ∠BHC=∠D=90°。
在△CDE和△BHC中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠BHC \\∠DEC=∠BCH \\CE=BC\end{array} $
∴ △CDE≌△BHC（AAS），
∴ CD=BH，
又
∵ AB=CD，
∴ AB=BH。
(2) 解：
在Rt△CDE中，CD=AB=5，CE=BC=13，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
由△CDE≌△BHC得CH=DE=12。
∵ 四边形FECG是矩形，
∴ CG⊥CE，
又
∵ BH⊥CE，
∴ BH//CG，
∴ ∠OBH=∠OGC，∠OHB=∠OCG=90°，
由旋转性质得CG=CD=5，又
∵ BH=AB=5，
∴ BH=CG。
在△BOH和△GOC中：
$\{\begin{array}{l}∠OBH=∠OGC \\BH=CG \\∠OHB=∠OCG\end{array} $
∴ △BOH≌△GOC（ASA），
∴ OH=OC，
∴ $OH=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}×12=6$。
在Rt△BHO中，BH=5，OH=6，
由勾股定理得：$BO=\sqrt{BH^2+OH^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $BO=\sqrt{61}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、旋转性质、全等三角形判定和勾股定理的应用，解题关键是灵活运用旋转前后对应边相等的性质，找准全等三角形实现边角的转化。
【难度系数】
0.65

13. [最值问题]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ ACB=90°$,$BC=2$,$D$是$AB$上的动点,将线段$CD$绕点$C$逆时针旋转$90°$,得到线段$CE$,连接$BE$,则$BE$的最小值是.

13.$\sqrt{3}-1$

【分析】
遇到旋转类的最值问题，首先利用旋转的性质得到相等的线段和角：本题中CD旋转90°得CE，故CD=CE、∠DCE=90°。我们可以通过坐标法结合旋转的坐标变换规律，确定动点E的运动轨迹为一条直线，根据“垂线段最短”，BE的最小值就是点B到该轨迹直线的垂线段长度。解题时先确定△ABC各顶点坐标，推导E点的轨迹方程，再用点到直线的距离公式计算最短距离即可。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设点C为坐标原点(0,0)，AC在x轴正半轴上，BC在y轴正半轴上。
在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，
∴ $AB=2BC=4$，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2\sqrt{3}$，
则A点坐标为$(2\sqrt{3},0)$，B点坐标为$(0,2)$，
直线AB的解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2$。
设D是AB上的动点，坐标为$(m, -\frac{\sqrt{3}}{3}m+2)$，
根据坐标旋转规律：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后对应点坐标为$(-y,x)$，
因此CD绕C逆时针旋转90°得到的CE对应的E点坐标为$( \frac{\sqrt{3}}{3}m - 2, m )$。
令E点坐标为$(x,y)$，则$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{3}}{3}m-2 \\ y=m \end{cases}$，消去参数m可得E点轨迹的直线解析式为$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，整理为标准式：$\sqrt{3}x - y + 2\sqrt{3}=0$。
根据点到直线的距离公式，点B(0,2)到该直线的距离为：
$d=\frac{|\sqrt{3}×0 - 2 + 2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。
由垂线段最短可知，BE的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
旋转的性质，垂线段最短，点到直线的距离
【点评】
本题属于旋转背景下的动态最值问题，解题关键是通过坐标变换确定动点的运动轨迹，将几何最值问题转化为点到直线的距离计算，兼顾考查了几何变换的理解和代数计算的应用能力。
【难度系数】
0.4