1. 填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1)$x^2 + 6x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - 8x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 - 7x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 + \frac{1}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(5)$4x^2 + 8x + \_\_\_\_\_\_ = 4(x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(6)$2x^2 - 6x + \_\_\_\_\_\_ = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2$。

解：
(1) $x^2 + 6x + \boldsymbol{9} = (x + \boldsymbol{3})^2$
(2) $x^2 - 8x + \boldsymbol{16} = (x - \boldsymbol{4})^2$
(3) $x^2 - 7x + \boldsymbol{\frac{49}{4}} = (x - \boldsymbol{\frac{7}{2}})^2$
(4) $x^2 + \frac{1}{2}x + \boldsymbol{\frac{1}{16}} = (x + \boldsymbol{\frac{1}{4}})^2$
(5) $4x^2 + 8x + \boldsymbol{4} = 4(x + \boldsymbol{1})^2$
(6) $2x^2 - 6x + \boldsymbol{\frac{9}{2}} = 2(x - \boldsymbol{\frac{3}{2}})^2$

2.若一元二次方程$x^2 - 2x - 63 = 0$的两个根分别为$a,b$，且$a＞b$，则$b-a$的值为。

$\boldsymbol{-16}$

解：
移项，得 $x^2 - 2x = 63$，
配方，得 $x^2 - 2x + 1 = 63 + 1$，
即 $(x-1)^2 = 64$，
两边直接开平方，得 $x-1 = \pm8$，
解得 $x_1 = 9$，$x_2 = -7$。
由题意可知方程两根为$a,b$，且$a＞b$，
因此 $a=9$，$b=-7$，
则 $b-a = -7 - 9 = -16$。
最终

3.若代数式$x^2 -kx +4$是完全平方式，
则k的值为。

$\boldsymbol{\pm4}$

解：
由完全平方公式可知，形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。
代数式$x^2 -kx +4$可变形为$x^2 -kx +2^2$，对比完全平方式的结构可得：
$-kx=\pm2· x·2$
即$-k=\pm4$，
解得$k=\pm4$。

4.若a是实数，则$a^2 +1$与2a的大小关系是.

$\boldsymbol{a^2 +1 ≥ 2a}$

解：
作差得：$a^2 + 1 - 2a = (a-1)^2$
∵a是实数，
∴$(a-1)^2 ≥ 0$，即$a^2 +1 -2a ≥ 0$，
∴$a^2 +1 ≥ 2a$。
最终

5.已知$P=x^2+t$，$Q=2x$，若对于任意的实数$x$，$P＞Q$始终成立，则$t$的值可以为$\underline{\hspace{5cm}}$（写出一个即可）。

解：
由题意得，对任意实数$x$，$x^2 + t ＞ 2x$恒成立，
整理得 $x^2 - 2x + t ＞ 0$。
对左边配方：
$x^2 - 2x + 1 + t - 1 ＞ 0$，
即 $(x-1)^2 + (t-1) ＞ 0$。
因为对任意实数$x$，$(x-1)^2 ≥ 0$，
要使上式恒成立，只需$t-1 ＞ 0$，即$t＞1$。
取大于1的任意实数均可，例如$t=2$。
$\boldsymbol{2}$（答案不唯一，大于1的实数均可）

6. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x - 3 = 0$；
(2)$2x^2 + 8x + 8 = 0$。

解：
(1) 移项，得
$x^2 - 4x = 3$
配方，在方程两边同时加上$(-\frac{4}{2})^2 = 4$，得
$x^2 - 4x + 4 = 3 + 4$
即$(x - 2)^2 = 7$
两边开平方，得
$x - 2 = \pm\sqrt{7}$
所以$x_1 = 2 + \sqrt{7}$，$x_2 = 2 - \sqrt{7}$
(2) 方程两边同时除以2，得
$x^2 + 4x + 4 = 0$
移项，得
$x^2 + 4x = -4$
配方，在方程两边同时加上$(\frac{4}{2})^2 = 4$，得
$x^2 + 4x + 4 = -4 + 4$
即$(x + 2)^2 = 0$
两边开平方，得
$x + 2 = 0$
所以$x_1 = x_2 = -2$

7. 提升题►阅读下列材料：
“$a^2≥0$”这个结论在数学中非常有用.
有时我们需要将代数式配成完全平方式,例如:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$.$\because (x+2)^2≥0,\therefore (x+2)^2+1≥1,\therefore x^2+4x+5≥1$.
试利用“配方法”解答下列问题:
(1)求代数式$m^2+m+4$的最小值;
(2)求代数式$4-x^2+2x$的最大值;
(3)已知$x^2-4x+y^2+2y+5=0$,求$x+y$的值.

解：
(1) 对代数式$m^2+m+4$配方：
$m^2+m+4 = m^2+m+(\frac{1}{2})^2 + 4 - \frac{1}{4} = (m+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$
$\because (m+\frac{1}{2})^2 \ge 0$
$\therefore (m+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} \ge \frac{15}{4}$
$\therefore$ 代数式$m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$。
(2) 对代数式$4-x^2+2x$配方：
$4-x^2+2x = -(x^2-2x) +4 = -(x^2-2x+1 -1) +4 = -(x-1)^2 +5$
$\because (x-1)^2 \ge 0$
$\therefore -(x-1)^2 \le 0$
$\therefore -(x-1)^2 +5 \le 5$
$\therefore$ 代数式$4-x^2+2x$的最大值为$5$。
(3) 对已知等式变形配方：
$x^2-4x+y^2+2y+5=0$
整理得：$(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=0$
即$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 0$
$\because (x-2)^2 \ge 0$，$(y+1)^2 \ge 0$，两非负数之和为0
$\therefore x-2=0$，$y+1=0$
解得$x=2$，$y=-1$
$\therefore x+y=2+(-1)=1$。