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与三角形各边都
相切
的圆叫作三角形的内切圆
，内切圆的圆心是三角形三条角平分线
的交点，叫作三角形的内心
，这个三角形叫作圆的外切三角形
。答案
1. 相切
2. 内切圆
3. 三条角平分线
4. 内心
5. 圆的外切三角形
2. 内切圆
3. 三条角平分线
4. 内心
5. 圆的外切三角形
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时只需回忆教材中对应定义内容依次填空即可。首先回忆圆与三角形各边的位置关系：当圆和三角形每条边都只有一个公共点时即为相切，此时这个圆的名称是三角形的内切圆；再回忆内切圆圆心的性质：圆心到三角形三边距离相等，而角平分线上的点到角两边距离相等，因此圆心是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫三角形的内心；最后明确三角形和圆的对应关系，此时该三角形叫做圆的外切三角形。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义依次填空：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，因此第一空填相切，第二空填内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，符合角平分线的性质，因此是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫作三角形的内心，因此第三空填三条角平分线，第四空填内心；
3. 从圆和三角形的位置关系角度定义，这个三角形叫作圆的外切三角形，因此第五空填圆的外切三角形。
【答案】
相切；内切圆；三条角平分线；内心；圆的外切三角形
【知识点】
三角形内切圆概念；三角形内心定义；圆的外切三角形概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度较低，主要考查对几何基础概念的识记和理解，学习过程中要注重对教材基础定义的掌握，做到准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时只需回忆教材中对应定义内容依次填空即可。首先回忆圆与三角形各边的位置关系：当圆和三角形每条边都只有一个公共点时即为相切，此时这个圆的名称是三角形的内切圆；再回忆内切圆圆心的性质：圆心到三角形三边距离相等，而角平分线上的点到角两边距离相等，因此圆心是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫三角形的内心；最后明确三角形和圆的对应关系，此时该三角形叫做圆的外切三角形。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义依次填空：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，因此第一空填相切，第二空填内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，符合角平分线的性质，因此是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫作三角形的内心，因此第三空填三条角平分线，第四空填内心；
3. 从圆和三角形的位置关系角度定义，这个三角形叫作圆的外切三角形，因此第五空填圆的外切三角形。
【答案】
相切；内切圆；三条角平分线；内心；圆的外切三角形
【知识点】
三角形内切圆概念；三角形内心定义；圆的外切三角形概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度较低，主要考查对几何基础概念的识记和理解，学习过程中要注重对教材基础定义的掌握，做到准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 如图 30.2-1，点 O 为$△ ABC$的内心，若$∠ A=50°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$120°$
B.$125°$
C.$115°$
D.$130°$
图 30.2-1
图 30.2-2
图 30.2-3
图 30.2-4
C
）.A.$120°$
B.$125°$
C.$115°$
D.$130°$
图 30.2-1
图 30.2-2
图 30.2-3
图 30.2-4
答案
1. C
解析
【分析】
解题首先明确三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线。已知∠A的度数，第一步先根据三角形内角和为180°求出∠ABC与∠ACB的度数和，第二步利用角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的度数和，第三步再次利用三角形内角和即可算出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O为△ABC的内心
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×130°=65°$
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-65°=115°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内心相关的基础题型，解题核心是明确内心为三角形内角平分线的交点，结合内角和定理即可快速求解，是角平分线、三角形内角和与内心性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.8
解题首先明确三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线。已知∠A的度数，第一步先根据三角形内角和为180°求出∠ABC与∠ACB的度数和，第二步利用角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的度数和，第三步再次利用三角形内角和即可算出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O为△ABC的内心
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×130°=65°$
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-65°=115°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内心相关的基础题型，解题核心是明确内心为三角形内角平分线的交点，结合内角和定理即可快速求解，是角平分线、三角形内角和与内心性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.8
2. 如图30.2-2，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与边$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$CD=2$，$AB=7$，则$△ ABC$的周长为（
A.18
B.16
C.14
D.12
A
）。A.18
B.16
C.14
D.12
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆相关计算，解题思路如下：第一步，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；第二步，结合内切圆与三角形三边相切的特点，找出三组相等的切线长，将三角形的周长拆分重组为已知线段长度的和；第三步，代入已知数值计算即可得到周长。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点F、D、E
∴根据切线长定理可得：
$AF=AE$，$BF=BD$，$CE=CD=2$
∵$AB=AF+BF=7$
∴$AE+BD=AF+BF=7$
△ABC的周长为：
$\begin{aligned}AB + BC + AC&= AB + (BD + CD) + (AE + CE)\\&= 7 + (BD + AE) + 2 + 2\\&= 7 + 7 + 4\\&= 18\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是熟练运用切线长定理转化相等的线段，将未知边长替换为已知条件给出的长度，即可快速求出三角形周长。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形内切圆相关计算，解题思路如下：第一步，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；第二步，结合内切圆与三角形三边相切的特点，找出三组相等的切线长，将三角形的周长拆分重组为已知线段长度的和；第三步，代入已知数值计算即可得到周长。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点F、D、E
∴根据切线长定理可得：
$AF=AE$，$BF=BD$，$CE=CD=2$
∵$AB=AF+BF=7$
∴$AE+BD=AF+BF=7$
△ABC的周长为：
$\begin{aligned}AB + BC + AC&= AB + (BD + CD) + (AE + CE)\\&= 7 + (BD + AE) + 2 + 2\\&= 7 + 7 + 4\\&= 18\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是熟练运用切线长定理转化相等的线段，将未知边长替换为已知条件给出的长度，即可快速求出三角形周长。
【难度系数】
0.8
3. 如图30.2-3，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$AB=6$，$BC=10$，$CA=12$，则$AF$的长为（
A.2
B.4
C.3
D.5
B
）.A.2
B.4
C.3
D.5
答案
3. B
解析
【分析】
本题是三角形内切圆相关的线段长度求解问题，解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以通过设未知数的方式，把三边被切点分割的线段都用含同一个未知数的式子表示，再根据已知的BC边长建立方程，即可求出AF的长度。
【解析】
设AF的长为x，
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC、BC分别相切于点F、E、D，
根据切线长定理可得：
$AF=AE=x$，$BF=BD$，$CD=CE$，
∴$BF=AB - AF=6 - x$，即$BD=6 - x$，
$CE=AC - AE=12 - x$，即$CD=12 - x$，
又
∵$BD + CD = BC = 10$，
∴$(6 - x) + (12 - x) = 10$，
化简得：$18 - 2x = 10$，
解得：$x=4$，
即AF的长为4。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础常考题，核心考查切线长定理的应用，通过设未知数列方程求解线段长度是这类题的常用解法，熟练掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内切圆相关的线段长度求解问题，解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以通过设未知数的方式，把三边被切点分割的线段都用含同一个未知数的式子表示，再根据已知的BC边长建立方程，即可求出AF的长度。
【解析】
设AF的长为x，
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC、BC分别相切于点F、E、D，
根据切线长定理可得：
$AF=AE=x$，$BF=BD$，$CD=CE$，
∴$BF=AB - AF=6 - x$，即$BD=6 - x$，
$CE=AC - AE=12 - x$，即$CD=12 - x$，
又
∵$BD + CD = BC = 10$，
∴$(6 - x) + (12 - x) = 10$，
化简得：$18 - 2x = 10$，
解得：$x=4$，
即AF的长为4。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础常考题，核心考查切线长定理的应用，通过设未知数列方程求解线段长度是这类题的常用解法，熟练掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图30.2-4，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，$∠ BAC=40°$，点I是$△ ABC$的内心，BI的延长线交$\odot O$于点D，连接AD，则$∠ CAD$的度数为（
A.$35°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$
C
）.A.$35°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$
答案
4. C
解析
【分析】
首先观察题目条件，看到AB是⊙O的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，可先求出△ABC中∠ABC的度数；再看到点I是内心，回忆内心是三角形内角平分线的交点，可得BD平分∠ABC，求出∠DBC的度数；最后要求∠CAD，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠CAD与∠DBC同对弧CD，因此二者相等，即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在△ABC中，∠BAC=40°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-40°=50°。
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=½∠ABC=½×50°=25°。
∵∠CAD和∠DBC都是弧CD所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，∠CAD=∠DBC=25°。
【答案】
C
【知识点】
1. 直径的圆周角性质
2. 三角形内心的定义
3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握直径的性质、三角形内心的概念以及圆周角定理，准确找到角度之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件，看到AB是⊙O的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，可先求出△ABC中∠ABC的度数；再看到点I是内心，回忆内心是三角形内角平分线的交点，可得BD平分∠ABC，求出∠DBC的度数；最后要求∠CAD，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠CAD与∠DBC同对弧CD，因此二者相等，即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在△ABC中，∠BAC=40°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-40°=50°。
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=½∠ABC=½×50°=25°。
∵∠CAD和∠DBC都是弧CD所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，∠CAD=∠DBC=25°。
【答案】
C
【知识点】
1. 直径的圆周角性质
2. 三角形内心的定义
3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握直径的性质、三角形内心的概念以及圆周角定理，准确找到角度之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
