13. (★★★)在一节数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为4 cm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大?问题提出后,同学们经过讨论,大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置,圆形硬纸板能盖住时的最小直径.老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放形状的图形画在黑板上,如图所示.

(1)通过计算(结果保留根号与π).
a. 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径长为 cm;
b. 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径长为 cm;
c. 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径长为 cm.
(2)其实上面三种放置形状所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的,请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置形状(只需画出示意图,不要求说明理由),并求出此时圆形硬纸板的直径.

(1) a. $\boldsymbol{2\sqrt{10}}$；b. $\boldsymbol{4\sqrt{2}}$；c. $\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
(2) 此时圆形硬纸板的直径为 $\boldsymbol{\sqrt{65}\ \mathrm{cm}}$。

【分析】
解决这类最小圆形覆盖问题，核心是确定最小覆盖圆的圆心与半径：最小覆盖圆的圆心需到所有最远正方形顶点的距离相等，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用图形对称性设圆心坐标，再结合勾股定理列方程求解半径。
(1) 对三个摆放图形分别分析：
a. 图①三个正方形水平并排，整体沿中间正方形竖直中线对称，圆心在该对称轴上，取最外侧下方顶点和内侧上方顶点，令其到圆心距离相等即可列方程求半径；
b. 图②三个正方形的一个公共顶点在中心位置，各正方形外侧顶点到中心的距离就是正方形的对角线长，即为最小半径；
c. 图③三个正方形为“下方两个并排、上方一个叠放在左侧正方形上方”的摆放，同样结合对称性设圆心坐标，取左右侧最远顶点到圆心距离相等列方程求解。
(2) 最小直径的摆放为：两个正方形水平并排，第三个正方形叠放在两个正方形上方，对齐其中一个的侧边，再用相同方法列方程求半径，乘以2得到直径。
【解析】
已知正方形边长均为4cm：
(1) a. 设图①圆心在三个正方形的竖直对称轴上，坐标为$(0,y)$，最外侧点坐标为$(6,0)$，内侧上方点坐标为$(2,4)$，半径为$R$，由勾股定理得：
$R^2=6^2+y^2=2^2+(4-y)^2$
解得$y=-2$，代入得$R=\sqrt{6^2+(-2)^2}=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
b. 图②中三个正方形公共顶点为圆心，外侧顶点到圆心距离为正方形对角线长：
$R=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
c. 设图③圆心在对称轴上，结合最远顶点坐标列勾股定理方程，解得$R=2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$。
(2) 最优摆放示意图：将两个正方形水平并排，第三个正方形放在二者上方，对齐左侧正方形的左侧边。设半径为$R$，列勾股定理方程解得$R=\frac{\sqrt{65}}{2}\ \mathrm{cm}$，因此直径为$2R=\sqrt{65}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) a. $\boldsymbol{2\sqrt{10}}$；b. $\boldsymbol{4\sqrt{2}}$；c. $\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
(2) 示意图略，此时圆形硬纸板的直径为$\boldsymbol{\sqrt{65}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
最小覆盖圆，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实践操作考查几何最值计算，要求学生能通过建立坐标系将几何问题转化为代数方程求解，很好地锻炼了数形结合能力和几何建模思维。
【难度系数】
0.4