1. (2025·秦皇岛期中)某斜坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$，则它的坡角是（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.不能确定

1. A 解析:设坡角为α,则tan α = 1 : √3 = √3/3,
∴ α = 30°.故选 A.

2.（衢州中考）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆$BC=\sqrt{2}a$，$AB=b$，AB的最大仰角为$α$.当$∠ C=45°$时，则点A到桌面的最大高度是（）

A.$a+\dfrac{b}{\cosα}$
B.$a+\dfrac{b}{\sinα}$
C.$a+b\cosα$
D.$a+b\sinα$

2. D 解析:BC在竖直方向上的高度为√2 a sin 45° = a,AB在竖直方向上的最大高度为b sin α,
∴ 点A到桌面的最大高度为a+b sin α.故选 D.

3. (2025·内蒙古中考)如图,因地形原因,湖泊两端A,B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从点C测得点A的俯角为60°,测得点B的俯角为30°(A,B,C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A,B的距离为 m(结果保留根号).

3. 120√3 解析:如图,过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D,则 CD = 90 m,
∵ ∠MCA = 60°, ∠NCB = 30°, MN // AB,
∴ ∠CAD = ∠MCA = 60°, ∠CBD = ∠NCB = 30°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠CDA = ∠CDB = 90°,
∴ AD = CD / tan∠CAD = 90 / √3 = 30√3 ( m ), BD = CD / tan∠CBD = 90 / (√3/3) = 90√3 ( m ),
∴ AB=AD+BD=120√3 m.

4.（宁夏中考改编）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10 cm，传送带与水平面成$30°$角.假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转$140°$时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是 cm.（传送带厚度忽略不计）

4. $\dfrac{35}{9}π$ 解析:如图,设传送带上点 A 处的粮袋上升到点 B,构建Rt△ABC,则 AC // MN.由弧长公式得 AB = $\dfrac{140π×10}{180}$ = $\dfrac{70}{9}π$( cm ).
∵ AC // MN,
∴ ∠BAC = ∠NMA = 30°.在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, ∠BAC = 30°,
∴ BC = sin ∠BAC · AB = $\dfrac{1}{2}AB$ = $\dfrac{35}{9}π$( cm ).

5. (2026·内江中考)某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像(如图①).某数学实践小组开展实地测量活动,探测这座孔子雕像的高度.如图②,测量人员在雕像前的C处,测得雕像顶端A的仰角为$45°$,沿水平方向向雕像行走12 m到达观测点D处,测得雕像顶端A的仰角为$60°$.雕像底端B与观测点D,C在同一条水平直线上,且$AB ⊥ BC$,求孔子雕像的高度AB.(结果保留根号)

5. 设AB=x m,
∵ AB ⊥ BC,
∴ ∠B=90°.
在 Rt △ABD 中, ∠ABD = 90°, ∠ADB = 60°,
∴ BD = $\dfrac{AB}{\tan∠ ADB}$ = $\dfrac{x}{\tan 60°}$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ m.
在 Rt △ABC 中, ∠ABC = 90°, ∠ACB = 45°,
∴ BC = $\dfrac{AB}{\tan∠ ACB}$ = $\dfrac{x}{\tan 45°}$ = x m.
∵ CD=BC-BD=12 m,
∴ $x - \dfrac{\sqrt{3}}{3}x = 12$, 解得 $x = 18+6\sqrt{3}$,
∴ AB=$( 18+6\sqrt{3} )$ m.
答:孔子雕像的高度 AB 为$(18+6\sqrt{3} )$ m.

6. (2026·达州中考)在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中,九(6)班同学需要翻越一座小山(如图).他们由山脚A处出发,先沿坡角为42°的山坡行走300 m到达B处,再沿坡角为30°的山坡行走200 m到达山顶C处.估计这座小山的高度.(参考数据: $\sin 42° \approx 0.67$, $\cos 42° \approx 0.74$, $\tan 42° \approx 0.90$,结果保留整数)

6. 如图,过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F,过点 C 作 CG ⊥ AD 于点 G,交 BE 于点 H.由题意可得 AD // BE,
∴ CH ⊥ BE,
∴ 四边形 BFGH 为矩形,故 GH = BF. 在 Rt △ABF 中, AB = 300 m, ∠BAF = 42°, BF = 300×sin 42° ≈ 300×0.67 = 201( m ),
∴ HG = 201 m. 在 Rt △BCH 中, BC = 200 m, ∠CBE = 30°, CH = 200×sin 30° = 200×$\dfrac{1}{2}$ = 100( m ),
∴ 这座小山高度 CG = CH + HG = 100+201 = 301( m ).